\

tak więc przyrost funkcji\(\Delta y\) można zapisać jako

\

\

zauważ, że bezwzględny błąd aproksymacji, tj., różnica \(\Delta y – dy\) ma tendencję do zera jako \(\Delta X \do 0:\)

Co więcej, błąd względny ma również tendencję do zera jako \(\Delta X \do 0:\)

w ten sposób możemy użyć następującego wzoru do przybliżonych obliczeń:

gdzie funkcja\(l \left( X\right)\) nazywana jest aproksymacją liniową lub linearyzacją\ (f \left( x\right)\) at\ (x = A.\)

rysunek 1.

rozwiązane problemy

kliknij lub dotknij problemu, aby zobaczyć rozwiązanie.,

rozwiązanie.

przybliżenie liniowe jest podane przez równanie

\

wystarczy podłączyć znane wartości i obliczyć wartość \(f\left( {3.5} \right):\)

\

następnie

\

rozwiązanie.

najpierw otrzymujemy równanie aproksymacji liniowej dla danej funkcji:

\

gdzie \(a = -2.\)

stąd

\

daje to następującą przybliżoną wartość \(g\left( { – 1.8} \right):\)

\

przykład 3.

Znajdź przybliżoną wartość dla \(\sqrt{{30}}.\)

rozwiązanie.,

a jego wartość w punkcie \(a\) jest równa

\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \ frac{1} {{27}}.}
\]

w rezultacie otrzymujemy następującą odpowiedź:

przykład 4.

oszacuj \(\sqrt{9}\) używając aproksymacji liniowej w \(a = 8.\)

rozwiązanie.

Let \(f \ left (x \right) = \sqrt{x}.\ ) Przybliżenie liniowe w punkcie \(a = 8\) jest podane przez

\

Znajdź pochodną:

\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^ {–\frac{2}{3}}} }={ \frac{1} {{3\sqrt {{{x^2}}}}}.,}\]

Oblicz wartość pochodnej w \ (a = 8:\)

\{{{8^2}}}}} = \frac{1} {{12}}.\]

zastępując to, otrzymujemy funkcję \(L \ left (x \right)\) w postaci

\

stąd

\{9} \approx L \ left (9 \right)} = {\frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]

przykład 5.

Oblicz przybliżoną wartość \(\sqrt {50}.\)

rozwiązanie.

rozważ funkcję \(f\left( x \right) = \sqrt x .\ ) W naszym przypadku konieczne jest znalezienie wartości tej funkcji w \(x = 50.,\)

wybieramy \(a = 49\) i znajdujemy wartość pochodnej w tym momencie:

używając formuły

\

otrzymujemy:

\

przykład 6.

oszacuj \(\sqrt {3.9} \) używając aproksymacji liniowej w \(a = 4.\)

rozwiązanie.

rozważamy przybliżenie liniowe \(f\left( x \right) = \sqrt x \) w punkcie \(a = 4.\)

linearyzacja \(f \left (X\ right)\) W \ (A = 4\) jest podana przez

\

Oblicz wartość funkcji i jej pochodnej w tym punkcie.,

\

\

\

przykład 7.

Oblicz przybliżoną wartość dla \(\sqrt {{0,025}}.\)

rozwiązanie.

tutaj wygodnie jest przyjąć wartość \(a = 0,0256,\) od

\{{a}}}
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]

Znajdź pochodną tej funkcji i jej wartość w punkcie \(a:\)

stąd otrzymujemy przybliżoną wartość funkcji:

przykład 8.,

Znajdź linearyzację funkcji \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) w \(a = 27.\)

rozwiązanie.

stosujemy formułę

\

gdzie

\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]

weź pochodną używając reguły mocy:

\{{{{x^2}}}} \ right)^ \ prime }={ \left ({{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^ \ prime } = {\frac{2} {3} {x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2} {3} {x^ {- \frac{1}{3}}} }={ \frac{2} {{3\sqrt{x}}}.}\]

następnie

\{{27}}}} }={ \frac{2} {9}.,}\]

Zastąp to w równaniu dla \(L\left( X \right):\)

\

odpowiedź:

\

strona 1
problemy 1-8

Strona 2
problemy 9-25

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *