\

\

to Znamená, že přírůstek funkce \(\Delta y\) lze zapsat jako

\

\

Všimněte si, že absolutní chyba aproximace, tj., rozdíl \(\Delta y – dy\) má tendenci k nule, jak \(\Delta x \to 0:\)

kromě toho, relativní chyba také tendenci k nule, pokud \(\Delta x \to 0:\)

Tak můžeme použít následující vzorec pro přibližné výpočty:

\

kde funkce \(L\left( x \right)\) se nazývá lineární aproximace nebo linearizace \(f\left( x \right)\) na \(x = a.\)

Obrázek 1.

Řešit Problémy

Klepněte na tlačítko, nebo klepněte problém k řešení.,

řešení.

lineární aproximace je dána rovnicí

\

jen Musíme zapojte známé hodnoty a výpočet hodnoty \(f\left( {3.5} \right):\)

\

\

Řešení.

nejprve odvodíme lineární aproximační rovnici pro danou funkci:

\

kde \ (a = -2.\)

Proto

\

Toto dává následující přibližné hodnoty \(g\left( { – 1.8} \right):\)

\

Příklad 3.

Najděte přibližnou hodnotu pro \(\sqrt{{30}}.\)

řešení.,

a jeho hodnota v bodě \(a\) je rovno

\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]

výsledkem je následující odpověď:

příklad 4.

odhad \(\sqrt{9}\) pomocí lineární aproximace na \(a = 8.\)

řešení.

Let \ (f \ left (x \right) = \ sqrt{x}.\) Lineární aproximace v bodě \(a = 8\) je dána tím,

\

Najděte derivace:

\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]

vypočítat hodnotu derivátu na \(a = 8:\)

\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]

Dosazením, získáme funkci \(L\left( x \right)\), ve formě

\

Proto

\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]

příklad 5.

Vypočítejte přibližnou hodnotu \(\sqrt {50}.\)

řešení.

zvažte funkci \ (f \ left (x \right) = \ sqrt x .\) V našem případě je nutné najít hodnotu této funkce na \(x = 50.,\)

zvolte \(a = 49\) a najít hodnotu derivace v tomto bodě.

Pomocí vzorce

\

získat:

\

Příklad 6.

odhad \(\sqrt {3.9} \) pomocí lineární aproximace na \(a = 4.\)

řešení.

uvažujeme o lineární aproximaci \(f\left(x \right) = \sqrt x \) v bodě \(a = 4.\)

linearizace \(f\left( x \right)\) na \(a = 4\) je dána tím,

\

Vypočítat hodnotu funkce a její derivace v tomto bodě.,

\

\

\

Plug v této rovnici \(L\left( x \right):\)

\

Takže odpověď je,

\

Příklad 7.

Vypočítejte přibližnou hodnotu pro \(\sqrt{{0,025}}.\)

řešení.

Zde je vhodné vzít hodnotu \(a = 0,0256,\), protože

\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]

Najít derivaci této funkce a její hodnotu v bodě \(a:\)

Proto, dostaneme následující přibližné hodnoty funkce:

Příklad 8.,

Najít linearizace funkce \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) na \(a = 27.\)

řešení.

aplikujeme vzorec

\

kde

\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]

derivaci pomocí síly pravidlo:

\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]

pak

\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]

Nahradit v této rovnici \(L\left( x \right):\)

\

Odpověď:

\

Strana 1
Problémy 1-8

Strana 2
Problémy 9-25

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *