\

\

Somit kann das Inkrement der Funktion \(\Delta y\) als

\

\

geschrieben werden Beachten Sie, dass der absolute Fehler der Approximation, d.h., der Unterschied \(\Delta y – dy\) neigt zu Null als \(\Delta x \bis 0:\)

Darüber hinaus neigt der relative Fehler auch zu Null als \(\Delta x \bis 0:\)

Daher können wir die folgende Formel für ungefähre Berechnungen verwenden:

\

wobei die Funktion \(L\left( x \right)\) die lineare Annäherung oder Linearisierung von \(f\left( x \right)\) bei \(x = a.\)

Abbildung 1.

Gelöste Probleme

Klicken oder tippen Sie auf ein Problem, um die Lösung zu sehen.,

Lösung.

Die lineare Annäherung wird durch die Gleichung

\

Wir müssen nur die bekannten Werte einstecken und den Wert von \(f\left( {3.5} \right) berechnen:\)

\

Dann

\

Lösung.

Zuerst leiten wir die lineare Approximationsgleichung für die gegebene Funktion ab:

\

wobei \(a = -2.\)

Daher

\

Dies ergibt den folgenden ungefähren Wert von \(g \ left ({- 1.8} \right):\)

\

Beispiel 3.

Finden Sie einen ungefähren Wert für \(\sqrt{{30}}.\)

Lösung.,

und sein Wert am Punkt \(a\) ist gleich

\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]

Als Ergebnis erhalten wir die folgende Antwort:

Beispiel 4.

Schätzen Sie \(\sqrt{9}\) mit einer linearen Näherung bei \(a = 8.\)

Lösung.

Let \(f\left( x \right) = \sqrt{x}.\) Die lineare Näherung am Punkt \(a = 8\) ist gegeben durch

\

Finde die Ableitung:

\{x}} \ right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^ {- \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt {{x^2}}}}.,}\]

Berechnen Sie den Wert der Ableitung bei \(a = 8:\)

\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]

Wenn wir dies ersetzen, erhalten wir die Funktion \(L\left (x \right)\) in der Form

\

Daher

\{9} \[ L\left (9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]

Beispiel 5.

Berechnen Sie einen ungefähren Wert von \(\sqrt {50}.\)

Lösung.

Betrachten Sie die Funktion \(f\left( x \right) = \sqrt x .\) In unserem Fall ist es notwendig, den Wert dieser Funktion bei \(x = 50.,\)

Wir wählen \(a = 49\) und finden den Wert der Ableitung an dieser Stelle:

Mit der Formel

\

erhalten wir:

\

Beispiel 6.

Schätzen Sie \(\sqrt {3.9} \) mit einer linearen Näherung bei \(a = 4.\)

Lösung.

Wir betrachten die lineare Annäherung von \(f\left (x \right) = \sqrt x\) am Punkt \(a = 4.\)

Die Linearisierung von \(f\left(x \right)\) bei \(a = 4\) ist gegeben durch

\

Berechnen Sie den Wert der Funktion und ihre Ableitung an dieser Stelle.,

\

\

\

Stecken Sie dies in die Gleichung für \(L\left (x \right):\)

\

Die Antwort lautet also

\

Beispiel 7.

Berechnen Sie einen ungefähren Wert für \(\sqrt{{0,025}}.\)

Lösung.

Hier ist es zweckmäßig, den Wert \(a = 0,0256,\) da

\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]

Finden Sie die Ableitung dieser Funktion und ihren Wert am Punkt \(a:\)

Daher erhalten wir den folgenden ungefähren Wert der Funktion:

Beispiel 8.,

Finden Sie die Linearisierung der Funktion \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) auf \(a = 27.\)

Lösung.

Wir wenden die Formel an

\

wobei

\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]

Nehmen Sie die Ableitung mit der Potenzregel:

\{{{x^2}}}} \ right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \rechts)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^ {- \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]

Dann

\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]

Ersetzen Sie dies in der Gleichung für \(L\left( x \right):\)

\

Antwort:

\

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Probleme 1-8

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