\
\
Astfel, sporul de funcția \(\Delta y\) poate fi scris ca
\
\
Rețineți că eroarea absolută de aproximare, de exemplu, diferența \(\Delta y – dy\) tinde la zero ca \(\Delta x \to 0:\)
mai Mult decât atât, eroarea relativă, de asemenea, tinde la zero, ca și \(\Delta x \to 0:\)
Astfel, putem folosi următoarele formule pentru calcule aproximative:
\
în cazul în care funcția \(L\left( x \right)\) se numește aproximare liniară sau liniarizare a \(f\left( x \right)\) la \(x = o.\)
Probleme Rezolvate
faceți Clic pe sau atingeți o problemă pentru a vedea solutia.,
soluție.
aproximarea liniară este dată de ecuația
\
trebuie doar să conectăm valorile cunoscute și să calculăm valoarea \(F \ left ({3.5} \right):\)
\
apoi
\
soluție.
În primul rând, derivăm ecuația de aproximare liniară pentru funcția dată:
\
unde \(a = -2.\)
prin urmare,
\
aceasta dă următoarea valoare aproximativă a \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
Exemplul 3.
găsiți o valoare aproximativă pentru \(\sqrt{{30}}.\)
soluție.,
și valoarea sa la punctul \(A\) este egală cu
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \ cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]
ca rezultat, obținem următorul răspuns:
Exemplul 4.
estimare \(\sqrt{9}\) folosind o aproximare liniară la \(a = 8.\)
soluție.
fie \(F \ left (x \right) = \ sqrt{x}.\ ) Aproximarea liniară la punctul \(a = 8\) este dată de
\
găsiți derivata:
\{x}}\right)^\prime} = {\frac{1}{3}{x^ {- \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
calculează valoarea derivatului la \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\ ]
înlocuind aceasta, obținem funcția \(l\left (x \ right)\) în forma
\
prin urmare
\{9} \ approx L \ left (9 \ right)} = {\frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
exemplul 5.
calculați o valoare aproximativă de \(\sqrt {50}.\)
soluție.
luați în considerare funcția \(f\left( x \right) = \sqrt x .\ ) În cazul nostru, este necesar să găsim valoarea acestei funcții la \(x = 50.,\ )
alegem \(a = 49\) și găsim valoarea derivatului în acest moment:
folosind formula
\
obținem:
\
exemplul 6.
estimare \(\sqrt {3.9} \) folosind o aproximare liniară la \(a = 4.\)
soluție.
considerăm aproximarea liniară a \(f\left (x \ right) = \sqrt x\) la punctul \(a = 4.\)
liniarizarea\(F \ left(X\ right)\) la\ (a = 4\) este dată de
\
calculați valoarea funcției și derivata acesteia în acest moment.,
\
\
conectați acest lucru în ecuația pentru\(l \left( x\right):\)
\
deci, răspunsul este
\
exemplul 7.
calculați o valoare aproximativă pentru \(\sqrt{{0,025}}.\)
soluție.
Aici este convenabil să ia valoarea \(a = 0,0256,\) deoarece
\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
găsiți derivata acestei funcții și valoarea acesteia la punctul \(a:\)
prin urmare, obținem următoarea valoare aproximativă a funcției:
exemplul 8.,
găsiți liniarizarea funcției \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) la \(a = 27.\)
soluție.
aplicăm formula
\
unde
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Ia derivate folosind regula de alimentare:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \dreapta)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
apoi
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Înlocui în ecuația \(L\left( x \right):\)
\
Raspuns:
\