\
\
således kan forøgelsen af funktionen \(\Delta y\) skrives som
\
Bemærk, at tilnærmelsens absolutte fejl, dvs., forskellen \(\Delta y – dy\) tendens til nul som \(\Delta x \0:\)
Desuden, at den relative fejl er også en tendens til nul som \(\Delta x \0:\)
Således kan vi bruge følgende formel for at få omtrentlige beregninger:
\
hvor funktionen \(V\left( x \right)\) kaldes den lineære tilnærmelse eller linearisering af \f\left( x \right)\) til \(x = a.\)
løste problemer
klik eller tryk på et problem for at se løsningen.,
opløsning.
den lineære tilnærmelse er givet ved ligningen
\
Vi skal bare tilslutte de kendte værdier og beregne værdien af \(f\venstre( {3.5} \højre):\)
\
derefter
\
løsning.
først udleder vi den lineære tilnærmelsesligning for den givne funktion:
\
hvor \(a = -2.\)
Derfor
\
Dette giver følgende omtrentlige værdi af \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
Eksempel 3.
Find en omtrentlig værdi for \(\S .rt{{30}}.\)
opløsning.,
og dens værdi på punktet \(A\) er lig med
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}= \frac{1}{{27}}.}
\]
som følge heraf får vi følgende svar:
eksempel 4.
skøn \(\s .rt{9}\) ved hjælp af en lineær tilnærmelse ved \(a = 8.\)
opløsning.
lad \(f\venstre (\\højre) = \ s .rt {.}.\) Den lineære tilnærmelse på det punkt \(a = 8\) er givet ved
\
Finde den afledede:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
Beregn værdien af derivatet ved \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
at Erstatte denne, at vi får den funktion \(V\left( x \right)\) i form
\
Derfor
\{9} \ca L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
eksempel 5.
Beregn en omtrentlig værdi på \(\S .rt {50}.\)
opløsning.
overvej funktionen \(f\venstre (\\højre) = \ s .rt..\) I vores tilfælde er det nødvendigt at finde værdien af denne funktion ved \(==50.,\)
Vi vælger \(a = 49\) og finder værdien af derivatet på dette tidspunkt:
Ved hjælp af formlen
\
Vi får:
\
eksempel 6.
skøn \(\s .rt {3.9} \) ved hjælp af en lineær tilnærmelse ved \(a = 4.\)
opløsning.
vi betragter den lineære tilnærmelse af \(f\venstre (\\højre) = \ s .rt\\) ved punktet \ (A = 4.\)
lineariseringen af \(f\venstre (\\højre)\) ved\ (a = 4\) er givet ved
\
Beregn værdien af funktionen og dens derivat på dette tidspunkt.,
\
\
\
Sæt dette i ligning til \(V\left( x \right):\)
\
Så, svaret er:
\
Eksempel 7.
Beregn en omtrentlig værdi for \(\S .rt{{0,025}}.\)
opløsning.
Her er det praktisk at tage værdien \(a = 0,0256,\) siden
\{{a}} }
= {\s .rt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Find derivatet af denne funktion og dens værdi på punktet \(a:\)
derfor opnår vi følgende omtrentlige værdi af funktionen:
Eksempel 8.,
Find lineariseringen af funktionen \(f\venstre (\\højre) = \ s .rt {{{^^2}}}\) at \ (a = 27.\)
opløsning.
Vi anvender formlen
\
hvor
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Tag afledte hjælp magt regel:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
derefter
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Erstatte denne i ligningen til \(V\left( x \right):\)
\
Svar:
\