\
\
Näin ollen lisäys funktion \(\Delta y\) voidaan kirjoittaa
\
\
Huomaa, että absoluuttinen virhe lähentämisestä, eli, ero \(\Delta y – dy\) on yleensä nolla, koska \(\Delta x \to 0:\)
Lisäksi, suhteellinen virhe myös yleensä nolla, koska \(\Delta x \to 0:\)
Näin ollen, voimme käyttää seuraavaa kaavaa likimääräisiä laskelmia:
\
missä funktio \(L\left( x \right)\) kutsutaan lineaarinen approksimaatio tai linearisointi ja \(f\left( x \right)\) at \(x = a.\)
Ratkaista Ongelmia
Napsauta tai napauta ongelma nähdä ratkaisu.,
liuos.
lineaarinen approksimaatio saadaan kaavasta
\
– Meidän täytyy vain kytke tunnetut arvot ja laskea arvo \(f\left( {3.5} \right):\)
\
Sitten
\
Ratkaisu.
Ensimmäinen, johdamme lineaarinen approksimaatio yhtälö tietyn toiminnon:
\
missä \(a = -2.\)
Siten
\
Tämä antaa seuraava likimääräinen arvo \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
Esimerkki 3.
Etsi likimääräinen arvo \(\sqrt{{30}}.\)
liuos.,
ja sen arvo pisteessä \(a\) on yhtä kuin
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]
tämän seurauksena saamme seuraavan vastauksen:
Esimerkki 4.
estimaatti \(\sqrt{9}\) käyttäen lineaarista approksimaatiota \(a = 8.\)
liuos.
Let \(F\left( x \right) = \sqrt{x}.\) Lineaarinen approksimaatio pisteessä \(a = 8\) on antanut
\
Löytää johdannainen:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
Laskea arvo johdannainen at \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
Korvaa tämän, saamme funktion \(L\left( x \right)\) muodossa
\
Siten
\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
Esimerkki 5.
laske likimääräinen arvo \(\sqrt {50}.\)
liuos.
harkitse funktiota \(F\left( x \right) = \sqrt x .\ ) Meidän tapauksessamme on tarpeen löytää tämän funktion arvo \(x = 50.,\)
valitse \(a = 49\) ja löytää arvo derivaatta tässä pisteessä:
kaavan
\
saadaan:
\
Esimerkki 6.
estimaatti \(\sqrt {3,9} \) käyttäen lineaarista approksimaatiota \(a = 4.\)
liuos.
pidämme lineaarinen likiarvo \(f\left( x \right) = \sqrt x \) pisteessä \(a = 4.\)
linearisointi ja \(f\left( x \right)\) at \(a = 4\) on antanut
\
Laske funktion arvo ja sen derivaatta tässä pisteessä.,
\
\
\
Kytke tämä yhtälö \(L\left( x \right):\)
\
Joten vastaus on.
\
Esimerkki 7.
laske likimääräinen arvo \(\sqrt{{0,025}}).\)
liuos.
Tässä se on kätevä ottaa arvo \(a = 0,0256,\), koska
\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Löytää johdannainen tämä toiminto ja sen arvo pisteessä \(a:\)
Näin ollen saadaan seuraava likiarvo toiminto:
Esimerkki 8.,
Etsi linearisointi funktion \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) at \(a = 27.\)
liuos.
käytämme kaava
\
missä
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Ottaa johdannaisia käyttävät valtaa sääntö:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \oikealla)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
Sitten
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Korvike tämä yhtälö \(L\left( x \right):\)
\
Vastaus:
\