\

\

Assim, o incremento da função \(\Delta y\) pode ser escrito como

\

\

Note que o erro absoluto da aproximação, i.e., a diferença de \(\Delta y – dy\) tende a zero, como \(\Delta x \to 0:\)

Além disso, o erro relativo também tende a zero, como \(\Delta x \to 0:\)

Assim, podemos usar a seguinte fórmula para cálculos aproximados:

\

onde a função \(L\left( x \right)\) é chamado de aproximação linear ou linearização de \(f\left( x \right)\) em \(x = a.\)

Figura 1.

Problemas Resolvidos

Clique ou toque em um problema para ver a solução.,solução de

.

A aproximação linear é dada pela equação

\

Nós só precisa conectar os valores conhecidos e calcular o valor de \(f\left( {3.5} \right):\)

\

Depois

\

Solução.

primeiro, derivamos a equação de aproximação linear para a função dada:

\

onde \(a = -2.\)

Portanto

\

Este dá o seguinte valor aproximado de \(g\left( { – 1.8} \right):\)

\

Exemplo 3.

encontre um valor aproximado para \(\sqrt {{{30}}.\)

solução.,

e o seu valor no ponto \(a\) é igual a

\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.como resultado, obtemos a seguinte resposta:

exemplo 4.

estimativa \(\sqrt{9}\) usando uma aproximação linear em \(a = 8.\)

solução.

Let \(f\left (x \right) = \sqrt{x}.\) A aproximação linear no ponto \(a = 8\) é dada por

\

Encontrar a derivada de:

\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]

calcula o valor da derivada em \(a = 8:\)

\{{{8^2}}}}} = \frac{1} {{12}}.\]

Substituindo, obtemos a função \(L\left( x \right)\) no formulário

\

Portanto

\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]

exemplo 5.

calcule um valor aproximado de \(\sqrt {50}.\)

solução.

considere a função \(f\esquerda (x \direita) = \sqrt X.\ ) No nosso caso, é necessário encontrar o valor desta função em \(x = 50.,\)

Podemos escolher a \(a = 49\) e encontrar o valor da derivada neste ponto:

Usando a fórmula

\

obtém-se:

\

Exemplo 6.

estimativa \(\sqrt {3. 9} \) usando uma aproximação linear em \(a = 4.\)

solução.

consideramos a aproximação linear de \(f\esquerda (x \direita) = \sqrt x\) no ponto \(a = 4.\)

a linearização de \(f\esquerda (x \direita)\) em \(a = 4\) é dada por

\

Calcule o valor da função e da sua derivada neste ponto.,

\

\

\

Plug isso na equação \(L\left( x \right):\)

\

Assim, a resposta é

\

Exemplo 7.

calcule um valor aproximado para \(\sqrt{{0,025}}.\)

solução.

aqui é conveniente tomar o valor \(a = 0,0256,\) uma vez que

\{a}} }
= {\sqrt {{{0,0256}} = 0,4.}
\]

Encontrar a derivada desta função e seu valor no ponto \(a:\)

Assim, obtemos o seguinte valor aproximado da função:

Exemplo 8.,

Encontre a linearização da função \(f\esquerda (x \direita) = \sqrt{{{x^2}}}}\) em \(a = 27.\)

solução.

aplicamos a fórmula

\

Onde

>\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]

Tomar a derivada usando o poder regra:

\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]

Depois

\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]

Substituir na equação \(L\left( x \right):\)

\

Resposta:

\

Página 1
Problemas 1-8

Página 2
Problemas 9-25

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