\
\
Così, l’incremento della funzione \(\Delta y\) può essere scritta come:
\
\
si noti che l’errore assoluto di approssimazione, cioè, la differenza \(\Delta y – dy\) tende a zero come \(\Delta x \to 0:\)
Inoltre, il relativo errore tende a zero come \(\Delta x \to 0:\)
Quindi, possiamo utilizzare la seguente formula per approssimare i calcoli:
\
in cui la funzione \(L\left( x \right)\) è chiamato l’approssimazione lineare o di linearizzazione di \(f\left( x \right)\) in \(x = a.\)
Problemi risolti
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Soluzione.
L’approssimazione lineare è data dall’equazione
\
Abbiamo solo bisogno di collegare i valori noti e calcolare il valore di \(f\left( {3.5} \right):\)
\
\
Soluzione.
Per prima cosa, deriviamo l’equazione di approssimazione lineare per la funzione data:
\
dove \(a = -2.\)
Quindi
\
Questo dà il seguente valore approssimativo di \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
Esempio 3.
Trova un valore approssimativo per \(\sqrt {{30}}.\ )
Soluzione.,
e il suo valore nel punto \(a\) è uguale a
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1} {{3 \ cdot {3^2}}} = \frac{1} {{27}}.}
\]
Di conseguenza, otteniamo la seguente risposta:
Esempio 4.
Stima \(\sqrt{9}\) utilizzando un’approssimazione lineare a \(a = 8.\ )
Soluzione.
Let \ (f \ left (x \right) = \sqrt{x}.\) L’approssimazione lineare nel punto \(a = 8\) è data da
\
Trovare la derivata:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
Calcola il valore della derivata in \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
Sostituendo questo, possiamo ottenere la funzione di \(L\left( x \right)\) in forma
\
Quindi
\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
Esempio 5.
Calcola un valore approssimativo di \(\sqrt {50}.\ )
Soluzione.
Considera la funzione \(f \ left (x \ right) = \ sqrt x .\ ) Nel nostro caso, è necessario trovare il valore di questa funzione in \(x = 50.,\)
Scegliamo \(a = 49\) e troviamo il valore della derivata a questo punto:
Usando la formula
\
otteniamo:
\
Esempio 6.
Stima \(\sqrt {3.9}\) utilizzando un’approssimazione lineare a \(a = 4.\ )
Soluzione.
Consideriamo l’approssimazione lineare di \(f\left( x \right) = \sqrt x \) nel punto \(a = 4.\)
La linearizzazione di \(f\left( x \right)\) at \(a = 4\) è data da
\
Calcola il valore della funzione e la sua derivata a questo punto.,
\
\
\
Inserire questo nell’equazione per \(L\left( x \right):\)
\
Quindi, la risposta è
\
Esempio 7.
Calcola un valore approssimativo per \(\sqrt {{0,025}}.\ )
Soluzione.
Qui è conveniente prendere il valore \(a = 0,0256,\) poiché
\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Trova la derivata di questa funzione e il suo valore nel punto \(a:\)
Quindi, otteniamo il seguente valore approssimativo della funzione:
Esempio 8.,
Trova la linearizzazione della funzione \(f \left(x \right) = \ sqrt{{{x^2}}}\) a \ (a = 27.\ )
Soluzione.
Applichiamo la formula
\
dove
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Prendere la derivata utilizzando la potenza di regola:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \destra)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
Poi
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Sostituire questo nell’equazione \(L\left( x \right):\)
\
Risposta:
\