\

\

Ainsi, l’incrément de la fonction \(\Delta y\) peut être écrite sous la forme

\

\

Notez que l’erreur absolue de l’approximation, c’est à dire, la différence de \(\Delta y – dy\) tend vers zéro comme \(\Delta x \to 0:\)

en Outre, l’erreur relative tend aussi vers zéro comme \(\Delta x \to 0:\)

Ainsi, on peut utiliser la formule suivante pour les calculs approximatifs:

\

où la fonction \(L\left( x \right)\) est appelé l’approximation linéaire ou linéarisation de \(f\left( x \right)\) à \(x = a.\)

Figure 1.

les Problèmes Résolus

Cliquez ou appuyez sur un problème pour voir la solution.,

la Solution.

L’approximation linéaire est donné par l’équation

\

Nous avons juste besoin de brancher les valeurs connues et calculer la valeur de \(f\left( {3.5} \right):\)

\

Ensuite,

\

la Solution.

tout d’Abord, nous obtenons l’approximation linéaire de l’équation pour la fonction donnée:

\

où \(a = -2.\)

Donc

\

Ce qui donne la suite approximative de la valeur de \(g\left( { – 1.8} \right):\)

\

Exemple 3.

trouver une valeur approximative pour \(\sqrt {{30}}.\)

la Solution.,

et sa valeur au point \(a\) est égal à

\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]

Comme un résultat, nous obtenons la réponse suivante:

Exemple 4.

estimer \(\sqrt{9}\) en utilisant une approximation linéaire à \(a = 8.\)

la Solution.

Let \(F\left( x \right) = \sqrt{x}.\) L’approximation linéaire au point \(a = 8\) est donnée par:

\

Trouver la dérivée:

\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]

Calculer la valeur de la dérivée de \(a = 8:\)

\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]

la Substitution à ce, nous obtenons la fonction \(L\left( x \right)\) dans le formulaire

\

Donc

\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]

Exemple 5.

calculer une valeur approximative de \(\sqrt {50}.\)

la Solution.

Considérons la fonction \(f\left( x \right) = \sqrt x .\ ), Dans notre cas, il est nécessaire de trouver la valeur de cette fonction de \(x = 50.,\)

Nous choisissons \(a = 49\) et de trouver la valeur de la dérivée en ce point:

à l’Aide de la formule

\

on obtient:

\

Exemple 6.

estimer \(\sqrt {3.9}\) en utilisant une approximation linéaire à \(a = 4.\)

la Solution.

Nous considérons l’approximation linéaire de \(f\left( x \right) = \sqrt x \) au point \(a = 4.\)

La linéarisation de \(f\left( x \right)\) à \(a = 4\) est donnée par:

\

le calcul de la valeur de la fonction et de sa dérivée en ce point.,

\

\

\

le Brancher dans l’équation \(L\left( x \right):\)

\

Donc, la réponse est

\

Exemple 7.

calculer une valeur approximative pour \(\sqrt {{0,025}}.\)

la Solution.

Ici, il est commode de prendre la valeur de \(a = 0,0256,\) depuis

\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]

Trouver la dérivée de cette fonction et sa valeur au point \(a:\)

par conséquent, nous obtenir de la valeur approximative de la fonction:

Exemple 8.,

Trouver la linéarisation de la fonction \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) à \(a = 27.\)

la Solution.

On applique la formule

\

\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]

Prendre la dérivée en utilisant la puissance de la règle:

\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]

Ensuite,

\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]

le Substituer dans l’équation \(L\left( x \right):\)

\

Réponse:

\

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Problèmes 1-8

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