\

\

sålunda kan ökningen av funktionen \(\Delta y\) skrivas som

\

\

\

\

Observera att det absoluta felet i approximationen, dvs., skillnaden \(\Delta y – dy\) tenderar att noll som \(\Delta x \till 0:\)

dessutom tenderar det relativa felet också att noll som \(\Delta X \till 0:\)

således kan vi använda följande formel för ungefärliga beräkningar:

\

där funktionen \(l\left( x \right)\) kallas linjär approximation eller linearisering av \(f\left( x \right)\) at \(x = a.\)

figur 1.

löste problem

Klicka eller tryck på ett problem för att se lösningen.,

lösning.

den linjära approximationen ges av ekvationen

\

vi behöver bara koppla in de kända värdena och beräkna värdet av \(f\left( {3.5} \right):\)

\

sedan

\

lösning.

först härleder vi den linjära approximationsekvationen för den givna funktionen:

\

var \(a = -2.\)

därav

\

detta ger följande ungefärliga värde av \(g\left( { – 1.8} \right):\)

\

exempel 3.

hitta ett ungefärligt värde för \(\sqrt{{30}}.\ )

lösning.,

och dess värde vid punkten \(A\ ) är lika med

\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \ cdot {3^2}}} = \ frac{1} {{27}}.}
\]

som ett resultat får vi följande svar:

exempel 4.

Uppskattning \(\sqrt{9}\) med hjälp av en linjär approximation till \(a = 8.\ )

lösning.

Låt \(f\left( x \höger) = \sqrt{x}.\) Den linjära approximationen vid punkten \(A = 8\) ges av

\

hitta derivatet:

\{x}} \right)^\prime } = {\frac{1}{3}{x^ {- \frac{2}{3}}} }={ \frac{1} {{3 \ sqrt {{{x^2}}}}}.,}\]

beräkna värdet av derivatet vid \(A = 8:\)

\{{{8^2}}}}} = \frac{1} {{12}}.\]

genom att ersätta detta får vi funktionen\(l \left( x\ right)\) i formuläret

\

därav

\{9}\approx l \left( 9 \ right)} = {\frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]

Exempel 5.

beräkna ett ungefärligt värde på \(\sqrt {50}.\ )

lösning.

överväg funktionen \(f\left( x \right) = \sqrt x .\ ) I vårt fall är det nödvändigt att hitta värdet av denna funktion vid \(x = 50.,\)

vi väljer \(a = 49\) och hittar värdet av derivatet vid denna tidpunkt:

med formeln

\

vi får:

\

exempel 6.

Uppskattning \(\sqrt {3.9} \) med hjälp av en linjär approximation till \(a = 4.\ )

lösning.

vi betraktar den linjära approximationen av \(f \ left(x \right) = \sqrt x \) vid punkten \(a = 4.\)

lineariseringen av \(f\left( x \right)\) vid \(a = 4\) ges av

\

beräkna värdet av funktionen och dess derivat vid denna tidpunkt.,

\

\

\

Anslut detta till ekvationen för \(L\left( x \right):\)

\

så är svaret

\

exempel 7.

beräkna ett ungefärligt värde för \(\sqrt{{0,025}}.\ )

lösning.

här är det bekvämt att ta värdet \(a = 0,0256,\) eftersom

\{{a}}}
= {\sqrt {{0,0256}} = 0,4.}
\]

hitta derivatet av denna funktion och dess värde vid punkten \(a:\)

därför får vi följande ungefärliga värde av funktionen:

exempel 8.,

hitta lineariseringen av funktionen \(f\left (x \ right) = \sqrt{{{x^2}}}\) Vid \(a = 27.\ )

lösning.

vi tillämpar formeln

\

där

\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]

ta derivatet med hjälp av effektregeln:

\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left ({{x^{\frac{2}{3}}}} \höger)^ \ prime } = {\frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^ {- \frac{1}{3}}} }={ \frac{2} {{3 \ sqrt{x}}}.}\]

sedan

\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]

ersätt detta i ekvationen för \(L\left( x \right):\)

\

svar:

\

sida 1
problem 1-8

Sida 2
problem 9-25

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *