\
tak więc przyrost funkcji\(\Delta y\) można zapisać jako
\
\
zauważ, że bezwzględny błąd aproksymacji, tj., różnica \(\Delta y – dy\) ma tendencję do zera jako \(\Delta X \do 0:\)
Co więcej, błąd względny ma również tendencję do zera jako \(\Delta X \do 0:\)
w ten sposób możemy użyć następującego wzoru do przybliżonych obliczeń:
gdzie funkcja\(l \left( X\right)\) nazywana jest aproksymacją liniową lub linearyzacją\ (f \left( x\right)\) at\ (x = A.\)
rozwiązane problemy
kliknij lub dotknij problemu, aby zobaczyć rozwiązanie.,
rozwiązanie.
przybliżenie liniowe jest podane przez równanie
\
wystarczy podłączyć znane wartości i obliczyć wartość \(f\left( {3.5} \right):\)
\
następnie
\
rozwiązanie.
najpierw otrzymujemy równanie aproksymacji liniowej dla danej funkcji:
\
gdzie \(a = -2.\)
stąd
\
daje to następującą przybliżoną wartość \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
przykład 3.
Znajdź przybliżoną wartość dla \(\sqrt{{30}}.\)
rozwiązanie.,
a jego wartość w punkcie \(a\) jest równa
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \ frac{1} {{27}}.}
\]
w rezultacie otrzymujemy następującą odpowiedź:
przykład 4.
oszacuj \(\sqrt{9}\) używając aproksymacji liniowej w \(a = 8.\)
rozwiązanie.
Let \(f \ left (x \right) = \sqrt{x}.\ ) Przybliżenie liniowe w punkcie \(a = 8\) jest podane przez
\
Znajdź pochodną:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^ {–\frac{2}{3}}} }={ \frac{1} {{3\sqrt {{{x^2}}}}}.,}\]
Oblicz wartość pochodnej w \ (a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1} {{12}}.\]
zastępując to, otrzymujemy funkcję \(L \ left (x \right)\) w postaci
\
stąd
\{9} \approx L \ left (9 \right)} = {\frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
przykład 5.
Oblicz przybliżoną wartość \(\sqrt {50}.\)
rozwiązanie.
rozważ funkcję \(f\left( x \right) = \sqrt x .\ ) W naszym przypadku konieczne jest znalezienie wartości tej funkcji w \(x = 50.,\)
wybieramy \(a = 49\) i znajdujemy wartość pochodnej w tym momencie:
używając formuły
\
otrzymujemy:
\
przykład 6.
oszacuj \(\sqrt {3.9} \) używając aproksymacji liniowej w \(a = 4.\)
rozwiązanie.
rozważamy przybliżenie liniowe \(f\left( x \right) = \sqrt x \) w punkcie \(a = 4.\)
linearyzacja \(f \left (X\ right)\) W \ (A = 4\) jest podana przez
\
Oblicz wartość funkcji i jej pochodnej w tym punkcie.,
\
\
\
przykład 7.
Oblicz przybliżoną wartość dla \(\sqrt {{0,025}}.\)