\
\
dus kan de toename van de functie \(\Delta y\) worden geschreven als
\
\
merk op dat de absolute fout van de benadering, d.w.z., het verschil \(\Delta y – dy\) neigt naar nul als \(\Delta x \to 0:\)
Bovendien, de relatieve fout ook neigt naar nul als \(\Delta x \to 0:\)
Dus, kunnen we de volgende formule gebruiken voor benaderende berekeningen:
\
waar de functie \(L\left( x \right)\) is de lineaire benadering of linearisatie van \f\left( x \right)\) ten \(x = a.\)
Opgeloste problemen
klik of tik op een probleem om de oplossing te zien.,
oplossing.
De lineaire benadering wordt gegeven door de vergelijking
\
We hoeven alleen de bekende waarden in te pluggen en de waarde van \(F\left( {3.5} \right):\)
dan
\
oplossing te berekenen.
eerst leiden we de lineaire benaderingsvergelijking af voor de gegeven functie:
\
waarbij \(a = -2.\)
vandaar
\
Dit geeft de volgende geschatte waarde van \(G\left( { – 1.8} \right):\)
\
Voorbeeld 3.
zoek een geschatte waarde voor \(\sqrt{{30}}.\)
oplossing.,
en de waarde op het punt \(a\) is gelijk aan
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \ cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]
als gevolg hiervan krijgen we het volgende antwoord:
Voorbeeld 4.
schatting \(\sqrt{9}\) met behulp van een lineaire benadering op \(a = 8.\)
oplossing.
Laat \(f \ left (x \ right) = \sqrt{x}.\ ) De lineaire benadering op het punt \(a = 8\) wordt gegeven door
\
vind de afgeleide:
\{x}} \ right)^ \ prime } = {\frac{1}{3}{x^ {- \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3 \ sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
Bereken de waarde van het derivaat op \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
door dit te vervangen krijgen we de functie \(L\left( x \right)\) in de vorm
\
vandaar
\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
Voorbeeld 5.
Bereken een geschatte waarde van \(\sqrt {50}.\)
oplossing.
beschouw de functie \(f \ left (x \ right) = \sqrt x .\ ) In ons geval is het noodzakelijk om de waarde van deze functie te vinden op \(x = 50.,\)
We kiezen \(a = 49\) en vinden de waarde van de afgeleide op dit punt:
met behulp van de formule
\
verkrijgen we:
\
Voorbeeld 6.
schatting \(\sqrt {3.9} \) met behulp van een lineaire benadering op \(a = 4.\)
oplossing.
We beschouwen de lineaire benadering van \(F \ left(x \right) = \ sqrt x\) op het punt \ (a = 4.\)
De linearisatie van \(F\left( x \right)\) bij \(a = 4\) wordt gegeven door
\
Bereken de waarde van de functie en zijn afgeleide op dit punt.,
\
\
\
steek dit in de vergelijking voor \(L\left( x \right):\)
\
dus het antwoord is
\
Voorbeeld 7.
Bereken een geschatte waarde voor \(\sqrt{{0,025}}.\)
oplossing.
Hier is het handig om de waarde \(a = 0,0256,\) te nemen omdat
\{{{a}} }
= {\sqrt {{0,0256}} = 0,4.}
\]
vind de afgeleide van deze functie en zijn waarde op het punt \(a:\)
vandaar dat we de volgende geschatte waarde van de functie verkrijgen:
Voorbeeld 8.,
vind de linearisatie van de functie \(f \ left (x \ right) = \sqrt{{{x^2}}}\) op \(a = 27.\)
oplossing.
We passen de formule
\
toe waarbij
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
neem de afgeleide met behulp van de macht regel:
\{{{x^2}}}} \ right)^\prime } = {\left ({{x^{\frac{2}{3}}}} \rechts)^ \ prime } = {\frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^ {- \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
dan
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
vervang dit in de vergelijking voor \(L\left( x \right):\)
\
antwoord:
\