\
\
Ainsi, l’incrément de la fonction \(\Delta y\) peut être écrite sous la forme
\
\
Notez que l’erreur absolue de l’approximation, c’est à dire, la différence de \(\Delta y – dy\) tend vers zéro comme \(\Delta x \to 0:\)
en Outre, l’erreur relative tend aussi vers zéro comme \(\Delta x \to 0:\)
Ainsi, on peut utiliser la formule suivante pour les calculs approximatifs:
\
où la fonction \(L\left( x \right)\) est appelé l’approximation linéaire ou linéarisation de \(f\left( x \right)\) à \(x = a.\)
les Problèmes Résolus
Cliquez ou appuyez sur un problème pour voir la solution.,
la Solution.
L’approximation linéaire est donné par l’équation
\
Nous avons juste besoin de brancher les valeurs connues et calculer la valeur de \(f\left( {3.5} \right):\)
\
Ensuite,
\
la Solution.
tout d’Abord, nous obtenons l’approximation linéaire de l’équation pour la fonction donnée:
\
où \(a = -2.\)
Donc
\
Ce qui donne la suite approximative de la valeur de \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
Exemple 3.
trouver une valeur approximative pour \(\sqrt {{30}}.\)
la Solution.,
et sa valeur au point \(a\) est égal à
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]
Comme un résultat, nous obtenons la réponse suivante:
Exemple 4.
estimer \(\sqrt{9}\) en utilisant une approximation linéaire à \(a = 8.\)
la Solution.
Let \(F\left( x \right) = \sqrt{x}.\) L’approximation linéaire au point \(a = 8\) est donnée par:
\
Trouver la dérivée:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
Calculer la valeur de la dérivée de \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
la Substitution à ce, nous obtenons la fonction \(L\left( x \right)\) dans le formulaire
\
Donc
\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
Exemple 5.
calculer une valeur approximative de \(\sqrt {50}.\)
la Solution.
Considérons la fonction \(f\left( x \right) = \sqrt x .\ ), Dans notre cas, il est nécessaire de trouver la valeur de cette fonction de \(x = 50.,\)
Nous choisissons \(a = 49\) et de trouver la valeur de la dérivée en ce point:
à l’Aide de la formule
\
on obtient:
\
Exemple 6.
estimer \(\sqrt {3.9}\) en utilisant une approximation linéaire à \(a = 4.\)
la Solution.
Nous considérons l’approximation linéaire de \(f\left( x \right) = \sqrt x \) au point \(a = 4.\)
La linéarisation de \(f\left( x \right)\) à \(a = 4\) est donnée par:
\
le calcul de la valeur de la fonction et de sa dérivée en ce point.,
\
\
\
le Brancher dans l’équation \(L\left( x \right):\)
\
Donc, la réponse est
\
Exemple 7.
calculer une valeur approximative pour \(\sqrt {{0,025}}.\)
la Solution.
Ici, il est commode de prendre la valeur de \(a = 0,0256,\) depuis
\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Trouver la dérivée de cette fonction et sa valeur au point \(a:\)
par conséquent, nous obtenir de la valeur approximative de la fonction:
Exemple 8.,
Trouver la linéarisation de la fonction \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) à \(a = 27.\)
la Solution.
On applique la formule
\
où
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Prendre la dérivée en utilisant la puissance de la règle:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
Ensuite,
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
le Substituer dans l’équation \(L\left( x \right):\)
\
Réponse:
\