\
\
sålunda kan ökningen av funktionen \(\Delta y\) skrivas som
\
\
\
\
Observera att det absoluta felet i approximationen, dvs., skillnaden \(\Delta y – dy\) tenderar att noll som \(\Delta x \till 0:\)
dessutom tenderar det relativa felet också att noll som \(\Delta X \till 0:\)
således kan vi använda följande formel för ungefärliga beräkningar:
\
där funktionen \(l\left( x \right)\) kallas linjär approximation eller linearisering av \(f\left( x \right)\) at \(x = a.\)
löste problem
Klicka eller tryck på ett problem för att se lösningen.,
lösning.
den linjära approximationen ges av ekvationen
\
vi behöver bara koppla in de kända värdena och beräkna värdet av \(f\left( {3.5} \right):\)
\
sedan
\
lösning.
först härleder vi den linjära approximationsekvationen för den givna funktionen:
\
var \(a = -2.\)
därav
\
detta ger följande ungefärliga värde av \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
exempel 3.
hitta ett ungefärligt värde för \(\sqrt{{30}}.\ )
lösning.,
och dess värde vid punkten \(A\ ) är lika med
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \ cdot {3^2}}} = \ frac{1} {{27}}.}
\]
som ett resultat får vi följande svar:
exempel 4.
Uppskattning \(\sqrt{9}\) med hjälp av en linjär approximation till \(a = 8.\ )
lösning.
Låt \(f\left( x \höger) = \sqrt{x}.\) Den linjära approximationen vid punkten \(A = 8\) ges av
\
hitta derivatet:
\{x}} \right)^\prime } = {\frac{1}{3}{x^ {- \frac{2}{3}}} }={ \frac{1} {{3 \ sqrt {{{x^2}}}}}.,}\]
beräkna värdet av derivatet vid \(A = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1} {{12}}.\]
genom att ersätta detta får vi funktionen\(l \left( x\ right)\) i formuläret
\
därav
\{9}\approx l \left( 9 \ right)} = {\frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
Exempel 5.
beräkna ett ungefärligt värde på \(\sqrt {50}.\ )
lösning.
överväg funktionen \(f\left( x \right) = \sqrt x .\ ) I vårt fall är det nödvändigt att hitta värdet av denna funktion vid \(x = 50.,\)
vi väljer \(a = 49\) och hittar värdet av derivatet vid denna tidpunkt:
med formeln
\
vi får:
\
exempel 6.
Uppskattning \(\sqrt {3.9} \) med hjälp av en linjär approximation till \(a = 4.\ )
lösning.
vi betraktar den linjära approximationen av \(f \ left(x \right) = \sqrt x \) vid punkten \(a = 4.\)
lineariseringen av \(f\left( x \right)\) vid \(a = 4\) ges av
\
beräkna värdet av funktionen och dess derivat vid denna tidpunkt.,
\
\
\
Anslut detta till ekvationen för \(L\left( x \right):\)
\
så är svaret
\
exempel 7.
beräkna ett ungefärligt värde för \(\sqrt{{0,025}}.\ )
lösning.
här är det bekvämt att ta värdet \(a = 0,0256,\) eftersom
\{{a}}}
= {\sqrt {{0,0256}} = 0,4.}
\]
hitta derivatet av denna funktion och dess värde vid punkten \(a:\)
därför får vi följande ungefärliga värde av funktionen:
exempel 8.,
hitta lineariseringen av funktionen \(f\left (x \ right) = \sqrt{{{x^2}}}\) Vid \(a = 27.\ )
lösning.
vi tillämpar formeln
\
där
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
ta derivatet med hjälp av effektregeln:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left ({{x^{\frac{2}{3}}}} \höger)^ \ prime } = {\frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^ {- \frac{1}{3}}} }={ \frac{2} {{3 \ sqrt{x}}}.}\]
sedan
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
ersätt detta i ekvationen för \(L\left( x \right):\)
\
svar:
\