\
\
Dermed økning av funksjonen \(\Delta y\) kan skrives som
\
\
Merk at det absolutte feil tilnærming, dvs., forskjellen \(\Delta y – dy\) har en tendens til null som \(\Delta x \to 0:\)
Videre, den relative feilen har også en tendens til null som \(\Delta x \to 0:\)
Dermed kan vi bruke følgende formel for omtrentlige beregninger:
\
hvor funksjonen \(L\left( x \right)\) kalles lineær tilnærming eller linearisering av \(f\left( x \right)\) om \(x = a.\)
Løst Problemer
Klikk på, eller trykk på et problem å se løsningen.,
Løsningen.
lineær tilnærming er gitt ved ligningen
\
Vi trenger bare å plugge inn de kjente verdiene og beregn verdien av \(f\left( {3.5} \right):\)
\
Så
\
Løsningen.
for det Første, vi utlede lineær tilnærming likningen for gitt funksjon:
\
hvor \(a = -2.\)
Dermed
\
Dette gir følgende omtrentlig verdi av \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
Eksempel 3.
Finn en tilnærmet verdi for \(\sqrt{{30}}.\)
Løsningen.,
og verdien på det punktet \(a\) er lik
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]
Som et resultat, får vi følgende svar:
Eksempel 4.
Estimat \(\sqrt{9}\) ved bruk av en lineær tilnærming til \(a = 8.\)
Løsningen.
La \(f\left( x \right) = \sqrt{x}.\) Lineær tilnærming på det punktet \(a = 8\) er gitt ved
\
Finn den deriverte:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
Beregne verdien av derivatet på \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
som kan Erstatte dette, får vi funksjonen \(L\left( x \right)\) i form
\
Dermed
\{9} \ca L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
Eksempel 5.
Beregne en omtrentlig verdi av \(\sqrt {50}.\)
Løsningen.
Vurdere funksjonen \(f\left( x \right) = \sqrt x .\) I vårt tilfelle, er det nødvendig å finne verdien av denne funksjonen \(x = 50.,\)
Vi velger \(a = 49\), og finne verdien av derivatet på dette punktet:
ved Hjelp av formelen
\
vi få:
\
Eksempel 6.
Estimat \(\sqrt {3.9} \) ved bruk av en lineær tilnærming til \(a = 4.\)
Løsningen.
Vi vurdere lineær tilnærming av \(f\left( x \right) = \sqrt x \) på det punktet \(a = 4.\)
linearisering av \(f\left( x \right)\) om \(a = 4\) er gitt ved
\
Beregne verdien av funksjon og dens deriverte på dette punktet.,
\
\
\
Koble dette i ligningen for \(L\left( x \right):\)
\
Så, svaret er
\
Eksempel 7.
Beregne en omtrentlig verdi for \(\sqrt{{0,025}}.\)
Løsningen.
Her er det praktisk å ta verdien \(a = 0,0256,\) siden
\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Finn den deriverte av denne funksjonen og verdien på det punktet \(a:\)
Derfor, vi får følgende omtrentlige verdien av funksjonen:
Eksempel 8.,
Finn den linearisering av funksjonen \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) om \(a = 27.\)
Løsningen.
Vi bruke formelen
\
hvor
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Ta den deriverte ved å bruke makt regelen:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \til høyre)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
Så
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Erstatte dette i ligningen for \(L\left( x \right):\)
\
Svar:
\