\
\
したがって、関数\(\Delta y\)の増分は次のように書くことができます。
\
\
近似値の絶対誤差、すなわち、近似値の絶対誤差、すなわち、近似値の絶対誤差、すなわち、近似値の絶対誤差、すなわち、近似値の絶対誤差、すなわち、近似値の絶対誤差、すなわち、近似値の絶対誤差、すなわち、近似値の絶対誤差、すなわち、, 差\(\Delta y–dy\)は\(\Delta x\to0:\)としてゼロになる傾向があります。
さらに、相対誤差も\(\Delta x\to0:\)としてゼロになる傾向があります。
したがって、近似計算には次の式を使用できます。
\
ここで、関数\(L\left(x\right)\)は\(f\left(x\right)\)の線形近似または線形化と呼ばれます。\(x=a.\)
問題を解決しました
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ソリューション。
線形近似は方程式によって与えられます
\
既知の値をプラグインし、\(f\left({3.5}\right):\)
\
次に、
\
解の値を計算するだけです。
まず、与えられた関数の線形近似方程式を導きます。
\
ここで、\(a=-2.したがって、これは\(g\left({–1.8}\right):\)
\
例3の近似値を与えます。
\(\sqrt{{30}}の近似値を見つけます。\)
ソリューション。,p>
点\(a\)での値は
に等しい>\{{{{27}^2}}}}} }
={\frac{1}{{3\cdot{3^2}}}=\frac{1}{{27}}。その結果、次の答えが得られます。
例4。
\(a=8の線形近似を使用して\(\sqrt{9}\)を推定します。\)
ソリューション。\(f\left(x\right)=\sqrt{x}とします。点\(a=8\)における線形近似は、次のように与えられます。
\
導関数を見つける：
\{x}}\right)^\prime}={\frac{1}{3}{x^{–\frac{-\frac{-\frac{-\frac{-\frac{-\frac{-\frac{-\frac{-\frac{-\frac{-\frac{-\frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}}。,}\]
で導関数の値を計算します。\(a=8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}。これを代入すると、関数\(L\left(x\right)\)が次の形式で得られます。
\
したがって、
\{9}\approx L\left(9\right)}={\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
例5.
\(\sqrt{50}の近似値を計算します。\)
ソリューション。p>
関数\(f\left(x\right)=\sqrt xを考えてみましょう。私たちの場合、この関数の値を\(x=50で見つける必要があります。,\)
私たちは\(a=49\)を選択し、この時点で導関数の値を見つけます：
式を使用して
\
私たちは得ます：
\
例6。
\(a=4の線形近似を使用して\(\sqrt{3.9}\)を推定します。\)
ソリューション。
点\(a=4での\(f\left(x\right)=\sqrt x\)の線形近似を考えます。\)
\(a=4\)における\(f\left(x\right)\)の線形化は、
\
この時点での関数とその導関数の値を計算することによって与えられます。,これを\(L\left(x\right):\)の式に差し込みます。
\
だから、答えは
\
例7です。
\(\sqrt{{0,025}}の近似値を計算します。\)
ソリューション。
ここでは、値\(a=0,0256,\)を取るのが便利です。
\{{a}}}
={\sqrt{{0,0256}}=0,4であるため。}
\]
この関数の導関数とその値を点で見つける\(a:\)
したがって、関数の次の近似値が得られます。
例8。,
関数\(f\left(x\right)=\sqrt{{{x^2}}}\)の線形化を\(a=27で求めます。\)
ソリューション。
式を適用します。
\
ここで
\{{{{27}^2}}} }={ 9.p>
パワールールを使用して導関数を取る：
\{{{x^2}}}}\右）^\プライム}={\左（{{x^{\frac{{x^{\frac{{x^{\frac{{x^{\frac{{x^{\frac{{x^{\frac{{x^{\frac{2}{3}}}} \右）^\プライム}={\frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{–\frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}。}\]
その後
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}。,答え：