\
\
por Lo tanto, el incremento de la función \(\Delta y\) puede ser escrita como
\
\
tenga en cuenta que el error absoluto de la aproximación, es decir,, la diferencia \(\Delta y – dy\) tiende a cero como \(\Delta x \to 0:\)
Además, el error relativo también tiende a cero como \(\Delta x \to 0:\)
así, podemos usar la siguiente fórmula para cálculos aproximados:
\
donde la función \(L\left( x \right)\) se llama la aproximación lineal o linealización de \(f\left( x \right)\) at \(X = a.\)
Problemas Resueltos
toque o haga Clic en un problema para ver la solución.,
solución.
La aproximación lineal está dada por la ecuación
\
sólo Tenemos que conectar los valores conocidos y calcular el valor de \(f\left( {3.5} \derecho):\)
\
Entonces
\
la Solución.
primero, derivamos la ecuación de aproximación lineal para la función dada:
\
donde \(a = -2.\)
por tanto
\
Esto da el siguiente valor aproximado de \(g\left( { – 1.8} \derecho):\)
\
Ejemplo 3.
encuentre un valor aproximado para \(\sqrt{{30}}.\)
solución.,
y su valor en el punto \(a\) es igual a
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]
Como resultado, obtenemos la siguiente respuesta:
Ejemplo 4.
estimar \(\sqrt{9}\) usando una aproximación lineal en \(a = 8.\)
solución.
Let \(F \ left (x \ right) = \sqrt{x}.\) La aproximación lineal en el punto \(a = 8\) está dada por
\
Encontrar la derivada:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
Calcular el valor de la derivada en \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
la Sustitución de este, se obtiene la función \(L\left( x \right)\) en el formulario
\
por tanto
\{9} \approx L\left( 9 \derecho) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
ejemplo 5.
Calcule un valor aproximado de \(\sqrt {50}.\)
solución.
Considere la función \(f\left( x \right) = \sqrt x .\) En nuestro caso, es necesario encontrar el valor de esta función en \(x = 50.,\)
elegimos \(a = 49\) y encontrar el valor de la derivada en este punto:
el Uso de la fórmula
\
se obtiene:
\
Ejemplo 6.
estimar \(\sqrt {3.9} \) usando una aproximación lineal en \(a = 4.\)
solución.
consideramos la aproximación lineal de \(f \ left (x \ right) = \sqrt x\) en el punto \(a = 4.\)
La linealización de \(f\left( x \right)\) en \(a = 4\) está dada por
\
Calcular el valor de la función y su derivada en este punto.,
\
\
\
Enchufe esta en la ecuación \(L\left( x \right):\)
\
Así que la respuesta es
\
Ejemplo 7.
Calcule un valor aproximado para \(\sqrt{{0,025}}.\)
solución.
Aquí es conveniente tomar el valor de \(a = 0,0256,\) desde
\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Encontrar la derivada de esta función y su valor en el punto \(a:\)
por lo tanto, obtenemos el siguiente valor aproximado de la función:
Ejemplo 8.,
encuentra la linealización de la función \(f\left (x \ right) = \sqrt{{{x^2}}}\) en \(a = 27.\)
solución.
aplicamos la fórmula
\
donde
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Tome la derivada usando el poder de la regla:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \derecho)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
Entonces
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Sustituir esto en la ecuación \(L\left( x \right):\)
\
Respuesta:
\