\
\
Somit kann das Inkrement der Funktion \(\Delta y\) als
\
\
geschrieben werden Beachten Sie, dass der absolute Fehler der Approximation, d.h., der Unterschied \(\Delta y – dy\) neigt zu Null als \(\Delta x \bis 0:\)
Darüber hinaus neigt der relative Fehler auch zu Null als \(\Delta x \bis 0:\)
Daher können wir die folgende Formel für ungefähre Berechnungen verwenden:
\
wobei die Funktion \(L\left( x \right)\) die lineare Annäherung oder Linearisierung von \(f\left( x \right)\) bei \(x = a.\)
Gelöste Probleme
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Lösung.
Die lineare Annäherung wird durch die Gleichung
\
Wir müssen nur die bekannten Werte einstecken und den Wert von \(f\left( {3.5} \right) berechnen:\)
\
Dann
\
Lösung.
Zuerst leiten wir die lineare Approximationsgleichung für die gegebene Funktion ab:
\
wobei \(a = -2.\)
Daher
\
Dies ergibt den folgenden ungefähren Wert von \(g \ left ({- 1.8} \right):\)
\
Beispiel 3.
Finden Sie einen ungefähren Wert für \(\sqrt{{30}}.\)
Lösung.,
und sein Wert am Punkt \(a\) ist gleich
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]
Als Ergebnis erhalten wir die folgende Antwort:
Beispiel 4.
Schätzen Sie \(\sqrt{9}\) mit einer linearen Näherung bei \(a = 8.\)
Lösung.
Let \(f\left( x \right) = \sqrt{x}.\) Die lineare Näherung am Punkt \(a = 8\) ist gegeben durch
\
Finde die Ableitung:
\{x}} \ right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^ {- \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt {{x^2}}}}.,}\]
Berechnen Sie den Wert der Ableitung bei \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
Wenn wir dies ersetzen, erhalten wir die Funktion \(L\left (x \right)\) in der Form
\
Daher
\{9} \[ L\left (9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
Beispiel 5.
Berechnen Sie einen ungefähren Wert von \(\sqrt {50}.\)
Lösung.
Betrachten Sie die Funktion \(f\left( x \right) = \sqrt x .\) In unserem Fall ist es notwendig, den Wert dieser Funktion bei \(x = 50.,\)
Wir wählen \(a = 49\) und finden den Wert der Ableitung an dieser Stelle:
Mit der Formel
\
erhalten wir:
\
Beispiel 6.
Schätzen Sie \(\sqrt {3.9} \) mit einer linearen Näherung bei \(a = 4.\)
Lösung.
Wir betrachten die lineare Annäherung von \(f\left (x \right) = \sqrt x\) am Punkt \(a = 4.\)
Die Linearisierung von \(f\left(x \right)\) bei \(a = 4\) ist gegeben durch
\
Berechnen Sie den Wert der Funktion und ihre Ableitung an dieser Stelle.,
\
\
\
Stecken Sie dies in die Gleichung für \(L\left (x \right):\)
\
Die Antwort lautet also
\
Beispiel 7.
Berechnen Sie einen ungefähren Wert für \(\sqrt{{0,025}}.\)
Lösung.
Hier ist es zweckmäßig, den Wert \(a = 0,0256,\) da
\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Finden Sie die Ableitung dieser Funktion und ihren Wert am Punkt \(a:\)
Daher erhalten wir den folgenden ungefähren Wert der Funktion:
Beispiel 8.,
Finden Sie die Linearisierung der Funktion \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) auf \(a = 27.\)
Lösung.
Wir wenden die Formel an
\
wobei
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Nehmen Sie die Ableitung mit der Potenzregel:
\{{{x^2}}}} \ right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \rechts)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^ {- \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
Dann
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Ersetzen Sie dies in der Gleichung für \(L\left( x \right):\)
\
Antwort:
\