\
\
to Znamená, že přírůstek funkce \(\Delta y\) lze zapsat jako
\
\
Všimněte si, že absolutní chyba aproximace, tj., rozdíl \(\Delta y – dy\) má tendenci k nule, jak \(\Delta x \to 0:\)
kromě toho, relativní chyba také tendenci k nule, pokud \(\Delta x \to 0:\)
Tak můžeme použít následující vzorec pro přibližné výpočty:
\
kde funkce \(L\left( x \right)\) se nazývá lineární aproximace nebo linearizace \(f\left( x \right)\) na \(x = a.\)
Řešit Problémy
Klepněte na tlačítko, nebo klepněte problém k řešení.,
řešení.
lineární aproximace je dána rovnicí
\
jen Musíme zapojte známé hodnoty a výpočet hodnoty \(f\left( {3.5} \right):\)
\
\
Řešení.
nejprve odvodíme lineární aproximační rovnici pro danou funkci:
\
kde \ (a = -2.\)
Proto
\
Toto dává následující přibližné hodnoty \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
Příklad 3.
Najděte přibližnou hodnotu pro \(\sqrt{{30}}.\)
řešení.,
a jeho hodnota v bodě \(a\) je rovno
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.}
\]
výsledkem je následující odpověď:
příklad 4.
odhad \(\sqrt{9}\) pomocí lineární aproximace na \(a = 8.\)
řešení.
Let \ (f \ left (x \right) = \ sqrt{x}.\) Lineární aproximace v bodě \(a = 8\) je dána tím,
\
Najděte derivace:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
vypočítat hodnotu derivátu na \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}.\]
Dosazením, získáme funkci \(L\left( x \right)\), ve formě
\
Proto
\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
příklad 5.
Vypočítejte přibližnou hodnotu \(\sqrt {50}.\)
řešení.
zvažte funkci \ (f \ left (x \right) = \ sqrt x .\) V našem případě je nutné najít hodnotu této funkce na \(x = 50.,\)
zvolte \(a = 49\) a najít hodnotu derivace v tomto bodě.
Pomocí vzorce
\
získat:
\
Příklad 6.
odhad \(\sqrt {3.9} \) pomocí lineární aproximace na \(a = 4.\)
řešení.
uvažujeme o lineární aproximaci \(f\left(x \right) = \sqrt x \) v bodě \(a = 4.\)
linearizace \(f\left( x \right)\) na \(a = 4\) je dána tím,
\
Vypočítat hodnotu funkce a její derivace v tomto bodě.,
\
\
\
Plug v této rovnici \(L\left( x \right):\)
\
Takže odpověď je,
\
Příklad 7.
Vypočítejte přibližnou hodnotu pro \(\sqrt{{0,025}}.\)
řešení.
Zde je vhodné vzít hodnotu \(a = 0,0256,\), protože
\{{a}} }
= {\sqrt{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Najít derivaci této funkce a její hodnotu v bodě \(a:\)
Proto, dostaneme následující přibližné hodnoty funkce:
Příklad 8.,
Najít linearizace funkce \(f\left( x \right) = \sqrt{{{x^2}}}\) na \(a = 27.\)
řešení.
aplikujeme vzorec
\
kde
\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
derivaci pomocí síly pravidlo:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
pak
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Nahradit v této rovnici \(L\left( x \right):\)
\
Odpověď:
\