\
\
Assim, o incremento da função \(\Delta y\) pode ser escrito como
\
\
Note que o erro absoluto da aproximação, i.e., a diferença de \(\Delta y – dy\) tende a zero, como \(\Delta x \to 0:\)
Além disso, o erro relativo também tende a zero, como \(\Delta x \to 0:\)
Assim, podemos usar a seguinte fórmula para cálculos aproximados:
\
onde a função \(L\left( x \right)\) é chamado de aproximação linear ou linearização de \(f\left( x \right)\) em \(x = a.\)
Problemas Resolvidos
Clique ou toque em um problema para ver a solução.,solução de
.
A aproximação linear é dada pela equação
\
Nós só precisa conectar os valores conhecidos e calcular o valor de \(f\left( {3.5} \right):\)
\
Depois
\
Solução.
primeiro, derivamos a equação de aproximação linear para a função dada:
\
onde \(a = -2.\)
Portanto
\
Este dá o seguinte valor aproximado de \(g\left( { – 1.8} \right):\)
\
Exemplo 3.
encontre um valor aproximado para \(\sqrt {{{30}}.\)
solução.,
e o seu valor no ponto \(a\) é igual a
\{{{{27}^2}}}}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot {3^2}}} = \frac{1}{{27}}.como resultado, obtemos a seguinte resposta:
exemplo 4.
estimativa \(\sqrt{9}\) usando uma aproximação linear em \(a = 8.\)
solução.
Let \(f\left (x \right) = \sqrt{x}.\) A aproximação linear no ponto \(a = 8\) é dada por
\
Encontrar a derivada de:
\{x}} \right)^\prime }={ \frac{1}{3}{x^{ – \frac{2}{3}}} }={ \frac{1}{{3\sqrt{{{x^2}}}}}.,}\]
calcula o valor da derivada em \(a = 8:\)
\{{{8^2}}}}} = \frac{1} {{12}}.\]
Substituindo, obtemos a função \(L\left( x \right)\) no formulário
\
Portanto
\{9} \approx L\left( 9 \right) }={ \frac{9}{{12}} + \frac{4}{3} }={ \frac{{9 + 16}}{{12}} }={ \frac{{25}}{{12}}.}\]
exemplo 5.
calcule um valor aproximado de \(\sqrt {50}.\)
solução.
considere a função \(f\esquerda (x \direita) = \sqrt X.\ ) No nosso caso, é necessário encontrar o valor desta função em \(x = 50.,\)
Podemos escolher a \(a = 49\) e encontrar o valor da derivada neste ponto:
Usando a fórmula
\
obtém-se:
\
Exemplo 6.
estimativa \(\sqrt {3. 9} \) usando uma aproximação linear em \(a = 4.\)
solução.
consideramos a aproximação linear de \(f\esquerda (x \direita) = \sqrt x\) no ponto \(a = 4.\)
a linearização de \(f\esquerda (x \direita)\) em \(a = 4\) é dada por
\
Calcule o valor da função e da sua derivada neste ponto.,
\
\
\
Plug isso na equação \(L\left( x \right):\)
\
Assim, a resposta é
\
Exemplo 7.
calcule um valor aproximado para \(\sqrt{{0,025}}.\)
solução.
aqui é conveniente tomar o valor \(a = 0,0256,\) uma vez que
\{a}} }
= {\sqrt {{{0,0256}} = 0,4.}
\]
Encontrar a derivada desta função e seu valor no ponto \(a:\)
Assim, obtemos o seguinte valor aproximado da função:
Exemplo 8.,
Encontre a linearização da função \(f\esquerda (x \direita) = \sqrt{{{x^2}}}}\) em \(a = 27.\)
solução.
aplicamos a fórmula
\
Onde
>\{{{{27}^2}}} }={ 9.}\]
Tomar a derivada usando o poder regra:
\{{{x^2}}}} \right)^\prime }={ \left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime }={ \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} }={ \frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} }={ \frac{2}{{3\sqrt{x}}}.}\]
Depois
\{{27}}}} }={ \frac{2}{9}.,}\]
Substituir na equação \(L\left( x \right):\)
\
Resposta:
\