Madame Lelica

u bent hoogstwaarschijnlijk honderden keren in uw dagelijks leven eenzijdige objecten tegengekomen-zoals het universele symbool voor recycling, gedrukt op de achterkant van aluminium blikjes en plastic flessen.

dit wiskundige object wordt een Mobius-strip genoemd., Het heeft milieuactivisten, kunstenaars, ingenieurs, wiskundigen en vele anderen gefascineerd sinds zijn ontdekking in 1858 door August Möbius, een Duitse wiskundige die 150 jaar geleden stierf, op Sept. 26, 1868.Möbius ontdekte de eenzijdige strip in 1858 toen hij de leerstoel astronomie en hogere mechanica aan de Universiteit van Leipzig was. (Een andere wiskundige genaamd Listing beschreef het een paar maanden eerder, maar publiceerde zijn werk pas in 1861., Möbius lijkt de Möbius-strook te hebben ontmoet tijdens het werken aan de meetkundige theorie van veelvlakken, vaste figuren die bestaan uit hoekpunten, randen en platte vlakken.

een Möbius-strip kan worden gemaakt door een strook papier te nemen, deze een oneven aantal halve wendingen te geven, en vervolgens de uiteinden aan elkaar te plakken om een lus te vormen. Als je een potlood neemt en een lijn tekent langs het midden van de strip, zul je zien dat de lijn blijkbaar langs beide zijden van de lus loopt.,het concept van een eenzijdig object inspireerde kunstenaars als de Nederlandse grafisch ontwerper M. C. Escher, wiens houtsnede “Möbius Strip II” rode mieren laat zien die de een na de ander langs een Möbius strip kruipen.

De möbiusstrook heeft meer dan één verrassende eigenschap. Probeer bijvoorbeeld een schaar te nemen en de strook doormidden te snijden langs de lijn die je net getekend hebt. Het zal u verbazen dat u niet met twee kleinere eenzijdige Möbius-stroken blijft zitten, maar met één lange tweezijdige lus., Als je geen stuk papier bij de hand hebt, laat Escher ‘ s houtsnede “Möbius Strip I” zien wat er gebeurt als een Möbius strip langs de middellijn wordt gesneden.

hoewel de strip zeker visueel aantrekkelijk is, heeft ze haar grootste impact gehad in de wiskunde, waar ze de ontwikkeling van een heel veld genaamd topologie heeft gestimuleerd.

een topoloog onderzoekt de eigenschappen van voorwerpen die bewaard blijven wanneer ze worden verplaatst, gebogen, uitgerekt of gedraaid, zonder delen aan elkaar te snijden of te lijmen., Bijvoorbeeld, een verwarde paar oordopjes is in een topologische zin hetzelfde als een ontwarmd paar oordopjes, omdat het veranderen van een in de andere vereist alleen bewegen, buigen en draaien. Geen snijden of lijmen is nodig om te transformeren tussen hen.

een ander paar objecten die topologisch hetzelfde zijn, zijn een koffiekopje en een donut. Omdat beide objecten slechts één gat hebben, kan de ene in de andere vervormd worden door enkel uit te rekken en te buigen.

het aantal gaten in een object is een eigenschap die alleen kan worden gewijzigd door knippen of lijmen. Deze eigenschap-genaamd het “geslacht” van een object – stelt ons in staat om te zeggen dat een paar oordopjes en een donut topologisch verschillend zijn, omdat een donut één gat heeft, terwijl een paar oordopjes geen gaten heeft.

helaas lijken een Möbius-strip en een tweezijdige lus, zoals een typisch siliconenarmband, beide één gat te hebben, dus deze eigenschap is onvoldoende om ze uit elkaar te houden-tenminste vanuit het oogpunt van een topoloog.,

in plaats daarvan wordt de eigenschap die een möbiusstrook onderscheidt van een tweezijdige lus orientabiliteit genoemd. Net als het aantal gaten, kan de oriënteerbaarheid van een object alleen worden veranderd door snijden of lijmen.

stel je voor dat je een notitie schrijft op een doorzichtig oppervlak en dan een wandeling maakt op dat oppervlak. Het oppervlak is richtbaar als je, wanneer je terugkomt van je wandeling, altijd de noot kunt lezen. Op een niet-oriënteerbaar oppervlak, kunt u terugkomen van uw wandeling alleen te vinden dat de woorden die je schreef blijkbaar zijn omgezet in hun spiegelbeeld en kan alleen worden gelezen van rechts naar links., Op de tweezijdige lus leest de notitie altijd van links naar rechts, ongeacht waar uw reis u heeft gebracht.

aangezien de möbiusstrook niet oriënteerbaar is, terwijl de tweezijdige lus oriënteerbaar is, betekent dit dat de möbiusstrook en de tweezijdige lus topologisch verschillend zijn.

wanneer de GIF wordt gestart, zijn de met de klok mee weergegeven punten Zwart, blauw en rood., Echter, we kunnen de drie-punt configuratie rond de Möbius strip zodanig verplaatsen dat de figuur zich op dezelfde plaats bevindt, maar de kleuren van de punten die met de klok mee zijn weergegeven zijn nu Rood, blauw en zwart. Op de een of andere manier is de configuratie veranderd in zijn eigen spiegelbeeld, maar alles wat we hebben gedaan is het verplaatsen op het oppervlak. Deze transformatie is onmogelijk op een oriënteerbaar oppervlak zoals de tweezijdige lus.

het begrip oriënteerbaarheid heeft belangrijke implicaties. Neem enantiomeren., Deze chemische verbindingen hebben dezelfde chemische structuren op één belangrijk verschil na: het zijn spiegelbeelden van elkaar. De chemische stof L-methamfetamine is bijvoorbeeld een ingrediënt in Vicks-damp-inhalatoren. Het spiegelbeeld, d-methamfetamine, is een klasse A illegale drug. Als we in een niet-oriënteerbare wereld zouden leven, zouden deze chemicaliën niet te onderscheiden zijn.August Möbius ‘ ontdekking opende nieuwe manieren om de natuurlijke wereld te bestuderen. De studie van topologie blijft verbluffende resultaten produceren. Bijvoorbeeld, vorig jaar, leidde topologie wetenschappers om vreemde nieuwe toestanden van materie te ontdekken., De Fields Medal van dit jaar, de hoogste onderscheiding in de wiskunde, werd toegekend aan Akshay Venkatesh, een wiskundige die hielp de topologie te integreren met andere gebieden zoals de getaltheorie.

Dit artikel is oorspronkelijk gepubliceerd op het gesprek.

David Gunderman, Ph. D. student in Applied Mathematics, University of Colorado en Richard Gunderman, Chancellor ‘ s Professor Of Medicine, Liberal Arts, and Philanthropy, Indiana University