Madame Lelica

Você provavelmente encontrou uma face objetos centenas de vezes em sua vida diária – como o símbolo universal da reciclagem, encontrado impresso nas costas de latas de alumínio e garrafas de plástico.

este objecto matemático é chamado de fita de Mobius., Tem fascinado ambientalistas, artistas, engenheiros, matemáticos e muitos outros desde a sua descoberta em 1858 por August Möbius, um matemático alemão que morreu há 150 anos, em Setembro. 26, 1868.Möbius descobriu a faixa unilateral em 1858 enquanto servia como cadeira de astronomia e mecânica superior na Universidade de Leipzig. (Outro matemático chamado Listing realmente o descreveu alguns meses antes, mas não publicou seu trabalho até 1861., Möbius parece ter encontrado a tira de Möbius enquanto trabalhava na teoria geométrica de poliedros, figuras sólidas compostas de vértices, arestas e faces planas.

Uma tira de Möbius pode ser criado utilizando uma tira de papel, dando-lhe um número ímpar de meia-voltas, em seguida, unindo as extremidades de volta em conjunto para formar um loop. Se você pegar um lápis e desenhar uma linha ao longo do centro da tira, você verá que a linha aparentemente corre ao longo de ambos os lados do laço.,

O conceito de um objeto unilateral inspirou artistas como o designer gráfico holandês M. C. Escher, cujo lenhador “Möbius Strip II” Mostra formigas vermelhas rastejando uma após a outra ao longo de uma tira de Möbius.

A tira de Möbius tem mais do que apenas uma propriedade surpreendente. Por exemplo, tente pegar um par de tesouras e cortar a tira ao meio ao longo da linha que você acabou de desenhar. Você pode ficar surpreso ao descobrir que você não fica com duas pequenas tiras de Möbius de um lado, mas em vez disso com um longo laço de dois lados., Se você não tem um pedaço de papel na mão, a xilogravura de Escher “Möbius Strip I” mostra o que acontece quando uma tira de Möbius é cortada ao longo de sua linha central.embora a faixa certamente tenha apelo visual, seu maior impacto foi na matemática, onde ajudou a estimular o desenvolvimento de um campo inteiro chamado topologia.um topologista estuda as propriedades dos objetos que são preservados quando movidos, dobrados, esticados ou torcidos, sem cortar ou colar partes., Por exemplo, um par emaranhado de fones de ouvido é, em um sentido topológico, o mesmo que um par semaranhado de fones de ouvido, porque mudar um para o outro requer apenas mover, dobrar e torcer. Não é necessário nenhum corte ou colagem para se transformar entre eles.

Outro Par de objetos que são topologicamente os mesmos são uma xícara de café e um donut. Porque ambos os objetos têm apenas um buraco, um pode ser deformado para o outro através de apenas alongamento e dobra.

o número de buracos num objecto é uma propriedade que só pode ser alterada através de corte ou colagem. Esta propriedade-chamada de “gênero” de um objeto-nos permite dizer que um par de fones de ouvido e um donut são topologicamente diferentes, uma vez que um donut tem um furo, enquanto um par de fones de ouvido não tem furos.

infelizmente, uma tira de Möbius e um laço de dois lados, como uma típica pulseira de consciência de silicone, ambos parecem ter um buraco, então esta propriedade é insuficiente para distingui-los – pelo menos do ponto de vista de um topologista.,

em vez disso, a propriedade que distingue uma tira de Möbius de um laço de dois lados é chamada orientabilidade. Tal como o seu número de buracos, a orientação de um objecto só pode ser alterada através do corte ou da colagem.Imagine escrever uma nota numa superfície transparente, depois dar uma volta nessa superfície. A superfície é orientável se, quando voltar da sua caminhada, puder sempre ler a nota. Em uma superfície não-orientável, você pode voltar de sua caminhada apenas para descobrir que as palavras que você escreveu aparentemente se transformaram em sua imagem de espelho e podem ser lidas apenas da direita para a esquerda., No loop de dois lados, a nota sempre será lida da esquerda para a direita, não importa para onde a sua viagem o levou.

Uma vez que a tira de Möbius é não-orientável, enquanto o laço de dois lados é orientável, isso significa que a tira de Möbius e o laço de dois lados são topologicamente diferentes.

Quando o GIF é iniciado, os pontos listados se no sentido horário, são: preto, azul e vermelho., No entanto, podemos mover a configuração de três pontos em torno da faixa de Möbius de tal forma que a figura está no mesmo local, mas as cores dos pontos listados fora no sentido horário são agora Vermelho, Azul e preto. De alguma forma, a configuração se transformou em sua própria imagem espelho, mas tudo o que fizemos foi movê-la em torno da superfície. Esta transformação é impossível numa superfície orientável como o laço de dois lados.o conceito de orientabilidade tem implicações importantes. Leva os enantiomers., Estes compostos químicos têm as mesmas estruturas químicas, exceto por uma diferença fundamental: eles são imagens espelhadas um do outro. Por exemplo, o químico l-metanfetamina é um ingrediente em inaladores de vapor Vicks. A sua imagem espelhada, D-metanfetamina, é uma droga ilegal de classe A. Se vivêssemos num mundo não-orientável, estes produtos químicos seriam indistinguíveis.a descoberta de August Möbius abriu novas formas de estudar o mundo natural. O estudo da topologia continua a produzir resultados impressionantes. Por exemplo, no ano passado, a topologia levou os cientistas a descobrir novos Estados estranhos de matéria., A Medalha Fields deste ano, a maior honra em Matemática, foi concedida a Akshay Venkatesh, um matemático que ajudou a integrar a topologia com outros campos, como a teoria dos números.

Este artigo foi originalmente publicado na conversa.

David Gunderman, Ph. D. student in Applied Mathematics, University of Colorado and Richard Gunderman, Chancellor’s Professor of Medicine, Liberal Arts, and Philanthropy, Indiana University