Madame Lelica

Vous avez probablement rencontré des objets unilatéraux des centaines de fois dans votre vie quotidienne-comme le symbole universel du recyclage, imprimé sur le dos des canettes en aluminium et des bouteilles en plastique.

Cet objet mathématique est appelé un ruban de Möbius., Il a fasciné les écologistes, les artistes, les ingénieurs, les mathématiciens et bien d’autres depuis sa découverte en 1858 par August Möbius, un mathématicien allemand décédé il y a 150 ans, le Septembre. 26, 1868.

Möbius a découvert la bande unilatérale en 1858 alors qu’il était titulaire de la chaire d’astronomie et de mécanique supérieure à L’Université de Leipzig. (Un autre mathématicien nommé Listing l’a décrit quelques mois plus tôt, mais n’a publié son travail qu’en 1861.,) Möbius semble avoir rencontré la bande de Möbius en travaillant sur la théorie géométrique des polyèdres, des figures solides composées de Sommets, d’arêtes et de faces planes.

Un ruban de Möbius peut être créé en prenant une bande de papier, en lui donnant un nombre impair de demi-torsions, puis de fixer les extrémités ensemble pour former une boucle. Si vous prenez un crayon et tracez une ligne le long du centre de la bande, vous verrez que la ligne longe apparemment les deux côtés de la boucle.,

Le concept d’objet unilatéral a inspiré des artistes comme le graphiste Néerlandais M. C. Escher, dont la gravure sur bois « Möbius Strip II” montre des fourmis rouges rampant les unes après les autres le long d’une bande de Möbius.

la bande de Möbius a plus qu’une propriété surprenante. Par exemple, essayez de prendre une paire de ciseaux et de couper la bande en deux le long de la ligne que vous venez de dessiner. Vous serez peut-être étonné de constater que vous ne vous retrouvez pas avec deux bandes de Möbius unilatérales plus petites, mais avec une longue boucle bilatérale., Si vous n’avez pas de papier en main, la gravure sur bois « Möbius Strip I” d’Escher montre ce qui se passe lorsqu’une bande de Möbius est coupée le long de sa ligne centrale.

bien que la bande ait certainement un attrait visuel, son plus grand impact a été en mathématiques, où elle a contribué à stimuler le développement d’un domaine entier appelé topologie.

un topologue étudie les propriétés des objets qui sont préservés lorsqu’ils sont déplacés, pliés, étirés ou tordus, sans couper ou coller des pièces ensemble., Par exemple, une paire d’écouteurs emmêlés est dans un sens topologique la même chose qu’une paire d’écouteurs démêlés, car changer l’un dans l’autre ne nécessite que de se déplacer, de se plier et de se tordre. Aucune coupe ou collage n’est nécessaire pour transformer entre eux.

Une autre paire d’objets qui sont topologiquement les mêmes sont une tasse à café et un beignet. Parce que les deux objets n’ont qu’un seul trou, l’un peut être déformé dans l’autre en s’étirant et en se pliant.

le nombre de trous dans un objet est une propriété qui ne peut être modifiée que par découpage ou collage. Cette propriété, appelée le « genre” d’un objet, nous permet de dire qu’une paire d’écouteurs et un beignet sont topologiquement différents, depuis un beignet a un trou, tandis qu’une paire d’écouteurs a pas de trous.

malheureusement, une bande de Möbius et une boucle bilatérale, comme un bracelet de sensibilisation en silicone typique, semblent toutes deux avoir un trou, donc cette propriété est insuffisante pour les distinguer – du moins du point de vue d’un topologue.,

Au Lieu de cela, la propriété qui distingue une bande de Möbius d’une boucle bilatérale est appelée orientabilité. Comme son nombre de trous, l’orientabilité d’un objet ne peut être modifiée que par découpage ou collage.

imaginez-vous écrire une note sur une surface transparente, puis vous promener sur cette surface. La surface est orientable si, au retour de votre promenade, vous pouvez toujours lire la note. Sur une surface non orientable, vous pouvez revenir de votre promenade seulement pour constater que les mots que vous avez écrits se sont apparemment transformés en leur image miroir et ne peuvent être lus que de droite à gauche., Sur la boucle recto-verso, la note sera toujours lue de gauche à droite, Peu importe où votre voyage vous a conduit.

étant donné que la bande de Möbius est non orientable, alors que la boucle bilatérale est orientable, cela signifie que la bande de Möbius et la boucle bilatérale sont topologiquement différentes.

lorsque le GIF démarre, les points indiqués dans le sens des aiguilles d’une montre sont noirs, bleus et rouges., Cependant, nous pouvons déplacer la configuration à trois points autour de la bande de Möbius de telle sorte que la figure soit au même endroit, mais les couleurs des points énumérés dans le sens horaire sont maintenant Rouge, bleu et noir. D’une manière ou d’une autre, la configuration s’est transformée en sa propre image miroir, mais tout ce que nous avons fait est de la déplacer à la surface. Cette transformation est impossible sur une surface orientable comme la boucle bilatérale.

Le concept d’orientabilité a des implications importantes. Prenez des énantiomères., Ces composés chimiques ont les mêmes structures chimiques, sauf une différence clé: ce sont des images miroirs les uns des autres. Par exemple, la l-méthamphétamine chimique est un ingrédient des inhalateurs à vapeur Vicks. Son image miroir, La D-méthamphétamine,est une drogue illégale de classe A. Si nous vivions dans un monde non orientable, ces produits chimiques seraient indiscernables.

la découverte d’August Möbius a ouvert de nouvelles voies pour étudier le monde naturel. L’étude de la topologie continue de produire des résultats étonnants. Par exemple, l’année dernière, la topologie a conduit les scientifiques à découvrir de nouveaux États étranges de la matière., La médaille Fields de cette année, la plus haute distinction en mathématiques, a été décernée à Akshay Venkatesh, un mathématicien qui a aidé à intégrer la topologie à d’autres domaines tels que la théorie des nombres.

Cet article a été initialement publié sur The Conversation.

David Gunderman, doctorant en Mathématiques Appliquées, Université du Colorado et Richard Gunderman, professeur de Médecine, D’Arts libéraux et de philanthropie, Université de L’Indiana