Madame Lelica

Du har sannolikt stött på ensidiga föremål hundratals gånger i ditt dagliga liv-som den universella symbolen för återvinning, som finns tryckt på baksidan av aluminiumburkar och plastflaskor.

detta matematiska objekt kallas en Mobius-remsa., Det har fascinerat miljöaktivister, konstnärer, ingenjörer, matematiker och många andra ända sedan dess upptäckt 1858 av August Möbius, en tysk matematiker som dog för 150 år sedan, på September. 26, 1868.Möbius upptäckte 1858 den ensidiga remsan medan han verkade som ordförande för astronomi och högre mekanik vid Leipzigs universitet. (En annan matematiker som heter Listing beskrev det faktiskt några månader tidigare, men publicerade inte sitt arbete förrän 1861.,) Möbius verkar ha stött på Möbius-remsan medan han arbetade med den geometriska teorin om polyedra, solida figurer bestående av hörn, kanter och plana ansikten.

en Möbius-remsa kan skapas genom att ta en pappersremsa, vilket ger det ett udda antal halvvridningar och sedan tejpa ihop ändarna för att bilda en slinga. Om du tar en penna och ritar en linje längs mitten av remsan ser du att linjen uppenbarligen löper längs båda sidor av slingan.,

konceptet med ett ensidigt objekt inspirerade konstnärer som holländsk grafisk formgivare M. C. Escher, vars woodcut ”Möbius Strip II” visar röda myror som kryper efter varandra längs en Möbiusremsa.

Möbius-remsan har mer än bara en överraskande egenskap. Till exempel, försök att ta en sax och skära remsan i halva längs linjen du bara ritade. Du kan bli förvånad över att upptäcka att du inte är kvar med två mindre ensidiga Möbius-remsor, utan istället med en lång dubbelsidig slinga., Om du inte har ett papper till hands, visar Eschers woodcut ”Möbius Strip i” vad som händer när en Möbiusremsa skärs längs mittlinjen.

medan remsan verkligen har visuell överklagande, har dess största inverkan varit i matematik, där det bidrog till att stimulera utvecklingen av ett helt fält som heter topologi.

en Topolog studerar egenskaper hos föremål som bevaras när de flyttas, böjs, sträcks eller vrids, utan att skära eller limma delar ihop., Till exempel är ett trassligt par öronproppar i topologisk mening detsamma som ett otangled par öronproppar, eftersom byte av en i den andra kräver endast rörelse, böjning och vridning. Ingen skärning eller limning krävs för att omvandla mellan dem.

ett annat par objekt som är topologiskt samma är en kaffekopp och en munk. Eftersom båda objekten bara har ett hål kan man deformeras i den andra genom att bara sträcka och böja.

antalet hål i ett objekt är en egenskap som endast kan ändras genom skärning eller limning. Denna egenskap – kallad” släktet ” av ett objekt-tillåter oss att säga att ett par öronproppar och en munk är topologiskt olika, eftersom en munk har ett hål, medan ett par öronproppar inte har några hål.

tyvärr verkar en Möbiusremsa och en dubbelsidig slinga, som en typisk silikonmedvetenhetsarmband, båda ha ett hål, så den här egenskapen är otillräcklig för att skilja dem åt-åtminstone ur en topologs synvinkel.,

istället kallas egenskapen som skiljer en Möbiusremsa från en dubbelsidig slinga orienterbarhet. Liksom antalet hål kan ett objekts orienterbarhet endast ändras genom skärning eller limning.

Tänk dig att skriva själv en anteckning på en genomgående yta och sedan ta en promenad runt på den ytan. Ytan är orienterbar om du, när du kommer tillbaka från din promenad, alltid kan läsa anteckningen. På en icke-orienterbar yta, kan du komma tillbaka från din promenad bara för att finna att de ord du skrev har tydligen förvandlats till sin spegelbild och kan läsas endast från höger till vänster., På den dubbelsidiga slingan läser anteckningen alltid från vänster till höger, oavsett var din resa tog dig.

eftersom Möbius-remsan är icke-orienterbar, medan den dubbelsidiga slingan är orienterbar, betyder det att Möbius-remsan och den dubbelsidiga slingan är topologiskt olika.

När GIF startar är de punkter som anges av medurs svarta, blå och röda., Vi kan dock flytta trepunktskonfigurationen runt Möbius-remsan så att figuren är på samma plats, men färgerna på de punkter som anges medurs är nu röda, blå och svarta. På något sätt har konfigurationen förvandlats till sin egen spegelbild, men allt vi har gjort är att flytta den runt på ytan. Denna omvandling är omöjlig på en orienterbar yta som den dubbelsidiga slingan.

begreppet orienterbarhet har viktiga konsekvenser. Ta enantiomerer., Dessa kemiska föreningar har samma kemiska strukturer förutom en nyckelskillnad: de är spegelbilder av varandra. Till exempel är den kemiska l-metamfetamin en ingrediens i Vicks ånginhalatorer. Dess spegelbild, d-metamfetamin, är en klass A olaglig drog. Om vi bodde i en icke-orienterbar värld skulle dessa kemikalier vara oskiljbara.

August Möbius upptäckt öppnade nya sätt att studera den naturliga världen. Studien av topologi fortsätter att ge fantastiska resultat. Till exempel, förra året, ledde topologi forskare att upptäcka konstiga nya tillstånd av materia., Årets Fields Medal, den högsta äran i matematik, tilldelades Akshay Venkatesh, en matematiker som hjälpte till att integrera topologi med andra områden som nummerteori.

den här artikeln publicerades ursprungligen på konversationen.

David Gunderman, Ph D. student i Tillämpad Matematik, University of Colorado och Richard Gunderman, Rektor Professor i Medicin, humaniora, och Filantropi, Indiana University