Madame Lelica

najprawdopodobniej w codziennym życiu napotkałeś jednostronne przedmioty setki razy-jak uniwersalny symbol recyklingu, znaleziony na plecach aluminiowych puszek i plastikowych butelek.

Ten obiekt matematyczny nazywa się pasem Mobiusa., Fascynuje ekologów, artystów, inżynierów, matematyków i wielu innych od czasu odkrycia w 1858 roku przez Augusta Möbiusa, niemieckiego matematyka, który zmarł 150 lat temu, września. 26, 1868.

Möbius odkrył jednostronny pas w 1858 roku, pełniąc funkcję katedry astronomii i mechaniki wyższej na Uniwersytecie w Lipsku. (Inny matematyk o nazwisku Listing faktycznie opisał ją kilka miesięcy wcześniej, ale nie opublikował swojej pracy aż do 1861 roku.,) Wydaje się, że Möbius zetknął się z pasem Möbiusa podczas pracy nad teorią geometryczną wielościanów, brył złożonych z wierzchołków, krawędzi i płaskich powierzchni.

Pasek Möbiusa można utworzyć, biorąc pasek papieru, nadając mu nieparzystą liczbę półskrętów, a następnie taśmę końców z powrotem tworząc pętlę. Jeśli weźmiesz ołówek i narysujesz linię wzdłuż środka paska, zobaczysz, że linia najwyraźniej biegnie po obu stronach pętli.,

koncepcja jednostronnego obiektu zainspirowała artystów takich jak Holenderski grafik M. C. Escher, którego drzeworyt „Möbius Strip II” pokazuje czerwone mrówki pełzające jeden po drugim wzdłuż Möbius strip.

Pasek Möbiusa ma więcej niż jedną zaskakującą właściwość. Na przykład, spróbuj wziąć parę nożyczek i przeciąć pasek na pół wzdłuż linii, którą właśnie narysowałeś. Możesz być zdumiony faktem, że nie pozostajesz z dwoma mniejszymi jednostronnymi paskami Möbiusa, ale zamiast tego z jedną długą dwustronną pętlą., Jeśli nie masz pod ręką kartki papieru, drzeworyt Eschera „Möbius Strip I” pokazuje, co się dzieje, gdy pasek Möbius jest cięty wzdłuż linii środkowej.

chociaż Pasek z pewnością ma atrakcyjność wizualną, jego największy wpływ miał na matematykę, gdzie pomógł pobudzić rozwój całej dziedziny zwanej topologią.

Topolog bada właściwości obiektów, które są zachowywane po przesunięciu, wygięciu, rozciągnięciu lub skręceniu, bez cięcia lub klejenia części razem., Na przykład splątana para Wkładek Dousznych jest w sensie topologicznym tym samym, co rozplątana para Wkładek Dousznych, ponieważ zmiana jednej w drugą wymaga tylko ruchu, zginania i skręcania. Nie wymaga się cięcia ani klejenia, aby przekształcić się między nimi.

kolejną parą obiektów, które są topologicznie takie same, są kubek do kawy i pączek. Ponieważ oba obiekty mają tylko jeden otwór, jeden może być zdeformowany do drugiego poprzez tylko rozciąganie i zginanie.

liczba otworów w obiekcie jest właściwością, którą można zmienić tylko poprzez cięcie lub klejenie. Ta właściwość-zwana „rodzajem” obiektu-pozwala nam powiedzieć, że para słuchawek i pączka są topologicznie różne, ponieważ pączek ma jeden otwór, podczas gdy para słuchawek nie ma otworów.

Niestety, Pasek Möbiusa i dwustronna pętla, jak typowa silikonowa opaska na rękę, wydają się mieć jeden otwór, więc ta właściwość jest niewystarczająca, aby je odróżnić-przynajmniej z punktu widzenia topologa.,

zamiast tego właściwość, która odróżnia Pasek Möbiusa od pętli dwustronnej, nazywa się orientowalnością. Podobnie jak liczba otworów, orientację obiektu można zmienić tylko poprzez cięcie lub klejenie.

wyobraź sobie napisanie sobie notatki na przezroczystej powierzchni, a następnie spacer po niej. Powierzchnia jest orientowana, jeśli po powrocie ze spaceru zawsze możesz przeczytać notatkę. Na nieorientowalnej powierzchni możesz wrócić ze spaceru tylko po to, aby odkryć, że słowa, które napisałeś, najwyraźniej zmieniły się w lustrzane odbicie i można je czytać tylko od prawej do lewej., Na dwustronnej pętli notatka będzie zawsze odczytywana od lewej do prawej, bez względu na to, gdzie zaprowadziła cię podróż.

ponieważ pasek Möbiusa jest nieorientowalny, podczas gdy pętla dwustronna jest orientowalna, oznacza to, że pasek Möbiusa i pętla dwustronna są topologicznie różne.

Po uruchomieniu GIF, kropki wymienione zgodnie z ruchem wskazówek zegara są czarne, niebieskie i czerwone., Możemy jednak przesunąć konfigurację trzech kropek wokół paska Möbiusa w taki sposób, że figura znajduje się w tym samym miejscu, ale kolory punktów wymienionych zgodnie z ruchem wskazówek zegara są teraz czerwone, niebieskie i czarne. W jakiś sposób konfiguracja zmieniła się w swoje lustrzane odbicie, ale wszystko, co zrobiliśmy, to przemieściliśmy ją na powierzchni. Ta transformacja jest niemożliwa na orientowanej powierzchni, takiej jak dwustronna pętla.

pojęcie orientacyjności ma istotne implikacje. Weź enancjomery., Te związki chemiczne mają te same struktury chemiczne, z wyjątkiem jednej kluczowej różnicy: są lustrzanymi odbiciami siebie nawzajem. Na przykład substancja chemiczna L-metamfetamina jest składnikiem inhalatorów Vicks Vapor. Jego lustrzane odbicie, d-metamfetamina, jest nielegalnym narkotykiem klasy A. Gdybyśmy żyli w nieorientowalnym świecie, chemikalia te byłyby nierozróżnialne.

odkrycie Augusta Möbiusa otworzyło nowe sposoby badania świata przyrody. Badanie topologii nadal daje oszałamiające wyniki. Na przykład w zeszłym roku topologia doprowadziła naukowców do odkrycia nowych, dziwnych stanów materii., Tegoroczny medal Fieldsa, najwyższe wyróżnienie w dziedzinie matematyki, otrzymał Akshay Venkatesh, matematyk, który pomógł zintegrować topologię z innymi dziedzinami, takimi jak teoria liczb.

David Gunderman, pH. d. student matematyki stosowanej, University of Colorado i Richard Gunderman, profesor kanclerza medycyny, sztuk wyzwolonych i filantropii, Indiana University