Madame Lelica

Du har mest sannsynlig oppstått en-sidig objekter hundrevis av ganger i ditt daglige liv – som det universelle symbolet for resirkulering, fant trykt på baksiden av aluminium bokser og plastflasker.

Denne matematiske objekt kalles en Mobius strip., Det har fascinert miljøvernere, kunstnere, ingeniører, matematikere og mange andre helt siden det ble funnet i 1858 av August Möbius, en tysk matematiker som døde for 150 år siden, i September. 26, 1868.

Möbius oppdaget ensidig strip i 1858 mens han var styreleder i astronomi og høyere mekanikk ved Universitetet i Leipzig. (En annen matematikeren Oppføring faktisk beskrevet det et par måneder tidligere, men ikke publisere sitt arbeid frem til 1861.,) Möbius ser ut til å ha oppstått Möbius bånd mens du arbeider på geometrisk teori av polyedre, solid tall består av hjørner, kanter og flatskjerm ansikter.

Et Möbius bånd kan lages ved å ta en stripe av papir, noe som gir det et ulikt antall halv-vendinger, så taping endene tilbake sammen for å danne en løkke. Hvis du tar en blyant og tegne en linje langs midten av the strip, vil du se at linjen tilsynelatende går langs begge sider av loopen.,

konseptet av en ensidig objekt inspirert kunstnere som nederlandsk grafisk designer M. C. Escher, som woodcut «Möbius Bånd II» viser røde maur krypende etter hverandre langs en Möbius bånd.

Möbius bånd har mer enn bare en overraskende eiendom. For eksempel, prøv å ta en saks og klippe stripe i to på langs linjen du nettopp tegnet. Du kan bli forbløffet over å finne ut at du er venstre ikke med to mindre ensidig Möbius bånd, men i stedet med en lang to-sidig loop., Hvis du ikke har et stykke papir i hånden, Escher er woodcut «Möbius Bånd jeg» viser hva som skjer når et Möbius bånd er kuttet langs midtlinjen.

Mens stripen har sikkert visuell appell, har sin største betydning har vært i matematikk, der det har bidratt til å anspore på utvikling av hele feltet som kalles topologi.

En topologist studier egenskapene til objekter som er bevart når de flyttes, bent, strukket eller vridd, uten å kutte eller lime delene sammen., For eksempel, en tangled par ørepropper er i en topologiske forstand er det samme som en untangled par ørepropper, fordi endring ene til den andre, krever bare flytte, bøye og vri. Ingen skjæring eller liming er nødvendig for å transformere mellom dem.

et par av objekter som er topologically det samme er en kaffekopp og en doughnut. Fordi begge objektene har bare ett hull, og man kan bli deformert i den andre gjennom bare å strekke og bøye.

antall hull i et objekt er en egenskap som kan bare endres gjennom skjæring eller liming. Denne eiendommen – kalt «slekten» av et objekt – gjør det mulig for oss å si at et par øreplugger og en doughnut er topologically annerledes, siden en doughnut har ett hull, mens et par øreplugger har ingen hull.

Dessverre, en Möbius bånd og en to-sidig loop, som en typisk silikon bevissthet armbånd, både synes å ha ett hull, så denne eiendommen er nok til å skille dem fra hverandre – i hvert fall fra en topologist synspunkt.,

i Stedet, egenskapen som skiller en Möbius bånd fra en to-sidig loop er kalt orientability. Som sin antall hull, et objekt orientability kan bare endres gjennom skjæring eller liming.

Tenk å skrive selv et notat på en se-gjennom overflaten, og tar en spasertur rundt på overflaten. Overflaten er stiv hvis du, når du kommer tilbake fra tur, kan du alltid lese notatet. På en ikkeorienterbare overflate, kan du komme tilbake fra en tur bare for å finne at ordene du skrev har tydeligvis slått inn i sitt speilbilde, og bare kan leses fra høyre til venstre., På to-sidig loop, notatet vil alltid lese fra venstre til høyre, uansett hvor turen tok deg.

Siden Möbius bånd er ikkeorienterbare, mens de to-sidig loop er stiv, det betyr at Möbius bånd og to-sidig loop er topologically forskjellige.

Når GIF starter, prikker oppført av klokken er svart, blå og rød., Men, vi kan flytte tre-dot-konfigurasjon rundt Möbius bånd slik at tallet er på samme sted, men fargene på punktene oppført av klokken er nå rød, blå og sort. Liksom, konfigurasjonen har endra seg i sitt eget speilbilde, men alt vi har gjort er å flytte den rundt på overflaten. Denne transformasjonen er umulig på et stivt underlag som de to-sidig loop.

begrepet orientability har viktige implikasjoner. Ta enantiomers., Disse kjemiske forbindelser som har samme kjemiske strukturer bortsett fra én viktig forskjell: De er speilbilder av hverandre. For eksempel, den kjemiske L-metamfetamin er en ingrediens i Vicks Damp Inhalers. Dens speilbilde, D-metamfetamin, som er en Klasse som Et ulovlig stoff. Hvis vi bodde i et ikkeorienterbare verden, disse kjemikaliene vil være umulig å skille.

August Möbius ‘ s discovery åpnet opp for nye måter å studere den naturlige verden. Studiet av topologi fortsetter å produsere fantastiske resultater. For eksempel i fjor, topologi ledet forskere til å oppdage ny og merkelig stater av saken., Årets Felt-Medaljen, den høyeste ære i matematikk, ble tildelt Akshay Venkatesh, en matematiker som bidro til å integrere topologi med andre felt som for eksempel antall teori.

Denne artikkelen ble opprinnelig publisert på Samtalen.

David Gunderman, Ph. D. student i Anvendt Matematikk, Universitetet i Colorado og Richard Gunderman, Kansler er Professor i Medisin, Liberal Arts, og Filantropi, Indiana University