Madame Lelica

Molto probabilmente hai incontrato oggetti unilaterali centinaia di volte nella tua vita quotidiana-come il simbolo universale per il riciclaggio, trovato stampato sul retro di lattine di alluminio e bottiglie di plastica.

Questo oggetto matematico è chiamato Mobius strip., Ha affascinato ambientalisti, artisti, ingegneri, matematici e molti altri fin dalla sua scoperta nel 1858 da August Möbius, un matematico tedesco morto 150 anni fa, il settembre. 26, 1868.

Möbius scoprì la striscia unilaterale nel 1858 mentre serviva come cattedra di astronomia e meccanica superiore all’Università di Lipsia. (Un altro matematico di nome Listing in realtà descritto pochi mesi prima, ma non ha pubblicato il suo lavoro fino al 1861.,) Möbius sembra aver incontrato la striscia di Möbius mentre lavorava sulla teoria geometrica dei poliedri, figure solide composte da vertici, bordi e facce piane.

Una striscia di Möbius può essere creata prendendo una striscia di carta, dandole un numero dispari di mezze torsioni, quindi riagganciando le estremità per formare un loop. Se prendi una matita e traccia una linea lungo il centro della striscia, vedrai che la linea apparentemente corre lungo entrambi i lati del ciclo.,

Il concetto di un oggetto unilaterale ha ispirato artisti come il graphic designer olandese M. C. Escher, la cui xilografia “Möbius Strip II” mostra formiche rosse che strisciano una dopo l’altra lungo una striscia di Möbius.

La striscia di Möbius ha più di una proprietà sorprendente. Ad esempio, prova a prendere un paio di forbici e tagliare la striscia a metà lungo la linea che hai appena disegnato. Si può essere sorpresi di scoprire che si sono lasciati non con due più piccole strisce di Möbius unilaterale, ma invece con un lungo ciclo a due lati., Se non hai un pezzo di carta a portata di mano, la xilografia di Escher “Möbius Strip I” mostra cosa succede quando una striscia di Möbius viene tagliata lungo la sua linea centrale.

Mentre la striscia ha certamente appeal visivo, il suo maggiore impatto è stato in matematica, dove ha contribuito a stimolare lo sviluppo di un intero campo chiamato topologia.

Un topologo studia le proprietà degli oggetti che vengono preservati quando vengono spostati, piegati, allungati o attorcigliati, senza tagliare o incollare parti insieme., Ad esempio, un paio di auricolari aggrovigliati è in senso topologico lo stesso di un paio di auricolari districati, perché cambiare l’uno nell’altro richiede solo lo spostamento, la piegatura e la torsione. Non è necessario alcun taglio o incollaggio per trasformarsi tra di loro.

Un’altra coppia di oggetti che sono topologicamente uguali sono una tazza di caffè e una ciambella. Poiché entrambi gli oggetti hanno un solo foro, uno può essere deformato nell’altro semplicemente allungando e piegando.

Il numero di fori in un oggetto è una proprietà che può essere modificata solo attraverso il taglio o l’incollaggio. Questa proprietà-chiamata “genere” di un oggetto-ci permette di dire che un paio di auricolari e una ciambella sono topologicamente diversi, poiché una ciambella ha un foro, mentre un paio di auricolari non ha fori.

Sfortunatamente, una striscia di Möbius e un anello a due lati, come un tipico braccialetto di sensibilizzazione in silicone, sembrano entrambi avere un foro, quindi questa proprietà non è sufficiente per distinguerli-almeno dal punto di vista di un topologo.,

Invece, la proprietà che distingue una striscia di Möbius da un ciclo a due lati è chiamata orientabilità. Come il suo numero di fori, l’orientabilità di un oggetto può essere modificata solo attraverso il taglio o l’incollaggio.

Immagina di scrivere una nota su una superficie trasparente, poi fare una passeggiata su quella superficie. La superficie è orientabile se, al ritorno dalla passeggiata, si può sempre leggere la nota. Su una superficie non orientabile, puoi tornare dalla tua passeggiata solo per scoprire che le parole che hai scritto si sono apparentemente trasformate nella loro immagine speculare e possono essere lette solo da destra a sinistra., Sul ciclo a due lati, la nota leggerà sempre da sinistra a destra, indipendentemente da dove ti ha portato il tuo viaggio.

Poiché la striscia di Möbius non è orientabile, mentre il ciclo a due lati è orientabile, ciò significa che la striscia di Möbius e il ciclo a due lati sono topologicamente diversi.

All’avvio della GIF, i punti elencati in senso orario sono neri, blu e rossi., Tuttavia, possiamo spostare la configurazione a tre punti attorno alla striscia di Möbius in modo tale che la figura si trovi nella stessa posizione, ma i colori dei punti elencati in senso orario sono ora rosso, blu e nero. In qualche modo, la configurazione si è trasformata in una propria immagine speculare, ma tutto ciò che abbiamo fatto è spostarlo in superficie. Questa trasformazione è impossibile su una superficie orientabile come il ciclo a due lati.

Il concetto di orientabilità ha importanti implicazioni. Prendi gli enantiomeri., Questi composti chimici hanno le stesse strutture chimiche tranne che per una differenza fondamentale: sono immagini speculari l’una dell’altra. Ad esempio, la L-metanfetamina chimica è un ingrediente negli inalatori di vapore Vicks. La sua immagine speculare, la D-metanfetamina, è una droga illegale di classe A. Se vivessimo in un mondo non orientabile, queste sostanze chimiche sarebbero indistinguibili.

La scoperta di August Möbius ha aperto nuovi modi per studiare il mondo naturale. Lo studio della topologia continua a produrre risultati sorprendenti. Ad esempio, l’anno scorso, la topologia ha portato gli scienziati a scoprire strani nuovi stati della materia., La Medaglia Fields di quest’anno, la più alta onorificenza in matematica, è stata assegnata ad Akshay Venkatesh, un matematico che ha contribuito a integrare la topologia con altri campi come la teoria dei numeri.

Questo articolo è stato originariamente pubblicato sulla Conversazione.

David Gunderman, studente di dottorato in Matematica applicata, Università del Colorado e Richard Gunderman, professore di medicina, Arti liberali e filantropia, Università dell’Indiana