Madame Lelica

Sie sind in Ihrem täglichen Leben höchstwahrscheinlich hunderte Male auf einseitige Objekte gestoßen-wie das universelle Symbol für Recycling, das auf den Rückseiten von Aluminiumdosen und Plastikflaschen gedruckt ist.

Dieses mathematische Objekt wird Mobius strip genannt., Es hat Umweltschützer, Künstler, Ingenieure, Mathematiker und viele andere fasziniert, seit August Möbius, ein deutscher Mathematiker,der vor 150 Jahren am Sept. 26, 1868.

Möbius entdeckte den einseitigen Streifen 1858 am Lehrstuhl für Astronomie und Höhere Mechanik der Universität Leipzig. (Ein anderer Mathematiker namens Listing beschrieb es tatsächlich einige Monate zuvor, veröffentlichte seine Arbeit jedoch erst 1861.,) Möbius scheint auf den Möbius-Streifen gestoßen zu sein, als er an der geometrischen Theorie von Polyedern arbeitete, festen Figuren, die aus Eckpunkten, Kanten und flachen Flächen bestanden.

Ein Möbius-Streifen kann erstellt werden, indem man einen Papierstreifen nimmt, ihm eine ungerade Anzahl von Halbdrehungen gibt und dann die Enden wieder zusammenklebt, um eine Schleife zu bilden. Wenn Sie einen Bleistift nehmen und eine Linie entlang der Mitte des Streifens zeichnen, werden Sie sehen, dass die Linie anscheinend auf beiden Seiten der Schleife verläuft.,

Das Konzept eines einseitigen Objekts inspirierte Künstler wie den niederländischen Grafikdesigner M. C. Escher, dessen Holzschnitt „Möbius Strip II“ rote Ameisen zeigt, die nacheinander entlang eines Möbius-Streifens kriechen.

Der Möbius-Streifen hat mehr als nur eine überraschende Eigenschaft. Versuchen Sie beispielsweise, eine Schere zu nehmen und den Streifen entlang der gerade gezeichneten Linie in zwei Hälften zu schneiden. Sie werden vielleicht erstaunt sein, dass Sie nicht mit zwei kleineren einseitigen Möbius-Streifen, sondern mit einer langen zweiseitigen Schlaufe zurückbleiben., Wenn Sie kein Stück Papier zur Hand haben, zeigt Eschers Holzschnitt „Möbius Strip I“, was passiert, wenn ein Möbius Strip entlang seiner Mittellinie geschnitten wird.

Während der Streifen sicherlich optisch ansprechend ist, war seine größte Wirkung in der Mathematik, wo er dazu beitrug, die Entwicklung eines ganzen Feldes namens Topologie voranzutreiben.

Ein Topologe untersucht Eigenschaften von Objekten, die beim Bewegen, Biegen, Strecken oder Verdrehen erhalten bleiben, ohne Teile zu schneiden oder zu verkleben., Zum Beispiel ist ein verwirrtes Paar Ohrhörer im topologischen Sinne dasselbe wie ein entwirrtes Paar Ohrhörer, da das Wechseln in das andere nur das Bewegen, Biegen und Verdrehen erfordert. Es ist kein Schneiden oder Kleben erforderlich, um zwischen ihnen zu transformieren.

Ein weiteres Paar Objekte, die topologisch gleich sind, sind eine Kaffeetasse und ein Donut. Da beide Objekte nur ein Loch haben, kann man durch einfaches Strecken und Biegen in das andere verformt werden.

Die Anzahl der Löcher in einem Objekt ist eine Eigenschaft, die nur durch Schneiden oder Kleben geändert werden kann. Diese Eigenschaft – die „Gattung“ eines Objekts genannt-erlaubt es uns zu sagen, dass sich ein Paar Ohrhörer und ein Donut topologisch unterscheiden, da ein Donut ein Loch hat, während ein Paar Ohrhörer keine Löcher hat.

Leider scheinen ein Möbius-Streifen und eine beidseitige Schlaufe, wie ein typisches Silikon – Armband, beide ein Loch zu haben, so dass diese Eigenschaft nicht ausreicht, um sie voneinander zu unterscheiden-zumindest aus Sicht eines Topologen.,

Stattdessen wird die Eigenschaft, die einen Möbius-Streifen von einer zweiseitigen Schleife unterscheidet, Orientierbarkeit genannt. Wie die Anzahl der Löcher kann auch die Orientierbarkeit eines Objekts nur durch Schneiden oder Kleben verändert werden.

Stellen Sie sich vor, Sie schreiben sich eine Notiz auf eine durchsichtige Oberfläche und machen dann einen Spaziergang auf dieser Oberfläche. Die Oberfläche ist orientierbar, wenn Sie die Notiz immer lesen können, wenn Sie von Ihrem Spaziergang zurückkehren. Auf einer nicht orientierbaren Oberfläche können Sie nur von Ihrem Spaziergang zurückkehren, um festzustellen, dass die von Ihnen geschriebenen Wörter anscheinend zu ihrem Spiegelbild geworden sind und nur von rechts nach links gelesen werden können., Auf der zweiseitigen Schleife wird die Notiz immer von links nach rechts gelesen, egal wohin Ihre Reise Sie geführt hat.

Da der Möbius-Streifen nicht orientierbar ist, während die zweiseitige Schleife orientierbar ist, bedeutet dies, dass sich der Möbius-Streifen und die zweiseitige Schleife topologisch unterscheiden.

Beim Start des GIF sind die Punkte im Uhrzeigersinn schwarz, blau und rot., Wir können die Dreipunktkonfiguration jedoch so um den Möbius-Streifen bewegen, dass sich die Figur an derselben Stelle befindet, aber die Farben der Punkte, die im Uhrzeigersinn aufgeführt sind, sind jetzt rot, Blau und Schwarz. Irgendwie hat sich die Konfiguration in ein eigenes Spiegelbild verwandelt, aber wir haben es nur auf der Oberfläche bewegt. Diese Transformation ist auf einer orientierbaren Oberfläche wie der zweiseitigen Schleife unmöglich.

Das Konzept der Orientierbarkeit hat wichtige Implikationen. Nehmen Sie Enantiomere., Diese chemischen Verbindungen haben die gleichen chemischen Strukturen mit Ausnahme eines Hauptunterschieds: Sie sind Spiegelbilder voneinander. Zum Beispiel ist die Chemikalie L-Methamphetamin ein Bestandteil in Vicks Dampfinhalatoren. Sein Spiegelbild, D-Methamphetamin, ist eine illegale Droge der Klasse A. Wenn wir in einer nicht orientierbaren Welt leben würden, wären diese Chemikalien nicht zu unterscheiden.

August Möbius ‚ Entdeckung eröffnete neue Wege, die Natur zu erforschen. Das Studium der Topologie führt weiterhin zu erstaunlichen Ergebnissen. Zum Beispiel führte die Topologie im vergangenen Jahr Wissenschaftler dazu, seltsame neue Materiezustände zu entdecken., Die diesjährige Fields Medal, die höchste Auszeichnung in Mathematik, wurde an Akshay Venkatesh verliehen, einen Mathematiker, der bei der Integration der Topologie in andere Bereiche wie die Zahlentheorie half.

Dieser Artikel wurde ursprünglich auf das Gespräch veröffentlicht.

David Gunderman, Ph. D. Student in Applied Mathematics, University of Colorado und Richard Gunderman, Professor für Medizin, Liberal Arts, and Philanthropy, Indiana University