1973 년,피셔,블랙 마이런 Scholes 로 머 게시 된 지금은 자신의 잘 알려져 옵션 가격 수식하는 것이 중대한 영향을 미치의 개발에 대한 양적인 금융.,1 그들의 모델(일반적으로 Black-Scholes 라고도 함)에서 옵션의 가치는 예상 수익률보다는 주식의 미래 변동성에 달려 있습니다. 그들의 가격 책정 공식은 주가가 기하학적 인 브라운 운동을 따른다는 가정에 기초한 이론 중심의 모델이었다., 고려 시카고 옵션 Exchange(러 헤르메스 북미 브로커)1973 년,플로피 디스크에 있었다 발명전 및 IBM 은 여전히 팔년 거리에서 소개하고,먼저 PC(던 두 드라이브 플로피),를 사용하여 데이터 중심의 접근 방식에 따라 실생활 옵션의 가격은 매우 복잡한 시간에 대한 검정,Scholes 와 머. 그들의 해결책은 놀랍지 만 일부 경험적 발견을 재현 할 수는 없습니다., 하나의 가장 큰 결함의 블랙-숄즈는 간에 일치하지 않는 모델의 변동성의 기본 옵션을 관찰한 변동은 시장에서(는 묵시적 변동성 표면).
오늘 투자자는 선택의 여지가 있습니다. 우리는 더 많은 출력에서 우리보다 휴대폰 state-of-the-art 컴퓨터에 1970 년대에,그리고 사용할 수 있는 데이터는 기하 급수적으로 증가하고있다. 결과적으로 우리는 옵션 가격 책정에 대해 다른 데이터 기반 접근 방식을 사용할 수 있습니다. 이 기사에서는 신경망을 사용하는 경험적 방법을 기반으로 옵션 가격 책정에 대한 솔루션을 제시합니다., 의 주요 장점은 기계 방법을 학습한 신경망과 같은 비교한 모델 기반 접근 방법은 재현할 수 있는 대부분의 경험적 특성 옵션의 가격입니다.
소개하는 옵션 가격
으로 파생금융상품으로 알려져 옵션,구매자가 지불한 가격에 판매하는 구매는 권리를 구매 또는 판매하는 금융 상품에서 지정한 가격에 지정된 시점에서 미래입니다. 옵션은 위험 관리,거래 및 관리 보상을 포함한 많은 금융 애플리케이션에 유용한 도구가 될 수 있습니다., 당연히 옵션에 대한 신뢰할 수있는 가격 책정 모델을 만드는 것은 학계에서 활발한 연구 영역이었습니다.
중 하나의 가장 중요한 결과 이 연구는 블랙-숄즈는 수식 가격을 제공합의 옵션에 따라 여러 입력 매개변수,가격과 같은 기본 주식 시장의 위험 관심 속도,시간까지 옵션을 만료 날짜 가격의 계약과 변동성의 기본다., Black-Scholes 이전에 실무자는 투자 프로젝트의 평가와 유사한 풋 콜 패리티 또는 가정 된 위험 프리미엄을 기반으로 한 가격 모델을 사용했습니다. 에서는 기업금융,가장 자주 사용되는 모델에 대한 기업의 평가는 현금 흐름 모형(DCF),을 계산하는의 현재 가치로 회사의 합계적인 미래의 현금 흐름입니다. 할인율은 해당 회사에 자본을 투자하는 인식 된 위험을 기반으로합니다., 혁신적인 아이디어 뒤에 Black-Scholes 이었다 그것이 필요하지 않을 사용하는 위험 프리미엄 때을 평가하는 옵션으로 주식 가격에 이미 이 정보를 포함. 1997 년 스웨덴 왕립 과학 아카데미(royal Swedish Academy Of Sciences)는 획기적인 작업으로 Merton 과 Scholes 에게 노벨 경제 과학상을 수여했습니다. (블랙은 상금에 공유하지 않았다. 그는 1995 년에 사망했으며 노벨상은 사후에 수여되지 않습니다.,)
경우 모든 옵션의 가격은 시장에서 사용할 수 있는,블랙-숄즈를 계산하는 데 사용할 수 있습니라 묵시적 변동성에 기반한 옵션의 가격으로 다른 모든 변수의 수식으로 알려져 있다. 에 따라 블랙-숄즈,묵시적 변동성과 동일해야에 대한 모든 가격의 옵션이지만,실제로 연구진은 묵시적 변동성에 대한 옵션이 일정하지 않습니다. 대신,그것은 비뚤어 지거나 미소 모양입니다.
연구원은 적극적으로 모델을 할 수있는 가격은 옵션이있는 방법을 재현할 수 있는 경험적으로 관찰하는 묵시적 변동성 표면입니다., 인기있는 솔루션 중 하나는 기본 자산의 변동성이 다른 확률 적 프로세스를 사용하여 결정되는 Heston 모델입니다. 모델의 이름을 딴 메릴랜드대학교 수학자 스티븐 헤스턴,재현 할 수있는 많은 실험적인 연구 결과를 포함한 묵시적 변동성을—하지만 그들 모두,그래서 그 금융 엔지니어가 사용된 다른 고급 기본 프로세스를 올라와 솔루션을 생성하는 실험적인 결과입니다., 으로 가격 모델 진화,다음과 같은 어려움이 일어났다:
•근본적인 가격 dynamics 고 더 복잡한 수학적으로 그리고 더 일반적으로—예를 들어,사용 Lévy 프로세스는 대신 Brownian motions.
•옵션의 가격은 자원 집약적이되었습니다. 하지만 블랙-숄즈 모델에는 폐쇄된 형식 솔루션은 가격에 대한 유럽 전화 옵션은,오늘날 사람들이 일반적으로 더 많이 사용하는 계산 집약적 몬테카를로 방법을 가격니다.
•가격 모델을 이해하고 사용하는 데 더 깊은 기술 지식이 필요합니다.,
기계 학습 방법을 옵션 가격에 적용하면 이러한 문제의 대부분을 해결합니다. 다른 알고리즘을 할 수있는 대략적인 기능에 따라 기능의 입력과 출력한 경우 번호 데이터의 포인트이 충분히 크다. 면 우리는 옵션이 표시 기능으로 사이의 계약 조건(입력)및 프리미엄 옵션의(출력)우리는 단순히 무시할 수의 모든 금융과 관련된 질문 옵션이나 주식 시장이다., 나중에 우리는 볼 것이 얼마나 추가가 어떤 금융 지식으로 다시 모델을 향상시킬 수 있습니다 결과의 정확성,그러나 기본적인 수준에서 아무 금융관련 정보는 필요합니다.
이러한 근사 기술 중 하나는 여러 가지 유용한 특성을 가진 인공 신경망을 사용합니다., 예를 들어,일부 회원들의 인공 신경망 보편적 approximators—의미하는 샘플의 경우 큰 충분히 알고리즘은 복잡한 충분한 다음,기능는 네트워크에 배운 것입에 충분히 가까이 실제 중 하나를 위한 실용적인 목적으로,보 조 Cybenko(1989)2Kurt Hornik,맥스웰 B.Stinchcombe 및 Halbert 화이트(1989).3 인공 신경망은 계산이 병렬로 여러 컴퓨터에서 쉽게 수행 될 수 있기 때문에 대용량 데이터베이스에 적합합니다., 그들의 가장 흥미로운 특성을은 이중성 계산에도:지만 훈련될 수 있는 시간이 많이 걸리는 경우,프로세스가 완료되고 근사치의 기능을 준비,예측은 매우 빠르다.
신경 네트워크
필수 개념의 신경 네트워크는 모델의 행동은 인간의 뇌를 만들 수학적 제제하는 뇌에서 정보를 추출하기 위해 입력된 데이터입니다., 기본적인 단위의 신경 네트워크 계층 퍼셉트론,어떤의 동작을 모방하는 신경과 발명한 미국 심리학자 프랭크 로젠에 1957.4 지만 잠재의 신경 네트워크를 해방되지 않았 1986 년까지,다윗이 Rumelhart,제프리 힌턴 로널드 윌리엄스에 게시된 자신의 영향력 있는 종이에 역전파 하 여 알고리즘을 보여주는 정보를 효율적으로 관리 할 수 있도록 인공 신경.5 이 발견 이후,mlp(multilayer perceptron)를 포함하여 많은 유형의 신경망이 구축되었으며,이는이 기사의 초점입니다.,
MLP 은 층의 perceptrons 가지고 각각의 입력:의 합의 출력 perceptrons 이전 층을 곱하여 그들의 무게,그것을 위해 다를 수 있습니다 각 계층 퍼셉트론. 이 perceptrons 사용한 비선형 활성화 기능(S-모양의 s 상능)을 변환하는 입력 신호로 출력 신호를 보내는 이러한 신호는 다음 층이 있습니다. 첫 번째 레이어(입력 레이어)는 고유합니다.이 레이어의 퍼셉트론에는 입력 데이터 인 출력 만 있습니다., 마지막 레이어(출력 레이어)는 회귀 문제에서 일반적으로 단일 퍼셉트론으로 구성된다는 의미에서 독특합니다. 이 두 레이어 사이의 모든 레이어를 일반적으로 숨겨진 레이어라고합니다. 하나의 숨겨진 레이어가있는 MLP 의 경우 시각화는 그림 1 에서 다음과 같습니다.,
림 1 쓸 수 있는 수학적으로는 사이에 숨겨진 레이어 입력으로 레이어:
사이의 최종 결과 숨겨진 계층으로:
어디 f1f2 는 기능을 활성화,α 및 β 포함 무게의 행렬 레이어 사이며,ε 오류가 장기적으로 0 평균입니다.,
첫 번째 단계의 계산은 무작위로 초기화 체중 행렬,이 프로세스의 변환에 사용하는 입력 변수를 예상 출력됩니다. 이 출력을 사용하여 손실 함수의 값을 계산하여 훈련 데이터를 사용하여 실제 결과와 예측 결과를 비교할 수 있습니다. 역전파 하 여는 방법을 계산하는 데 사용할 수 있습니다 그라디언트의 모델,다음 사용될 수 있습을 업데이트 무게의 행렬., 후 무게를 업데이트되었습 손실,기능을 가지고 있어야 작은 값을 나타내는 예측에 오류가 발생 교육 데이터 감소되었습니다. 모델이 수렴하고 예측 오류가 허용 될 때까지 이전 단계를 반복해야합니다.
이전 프로세스는 복잡하게 보일 수 있는 많은 off-the-shelf 프로그래밍 패키지는 사용자가에 집중하는 높은 수준의 문제를 대신 구현세요., 사용자의 책임은 변환하는 입력 및 출력 데이터를 올바른 형태로,매개 변수를 설정의 신경 네트워크를 시작합 학습 단계입니다. 일반적으로 가장 중요한 매개 변수는 각 레이어의 뉴런 수와 레이어 수입니다.
옵션 가격을 가진 다중층 Perceptrons
와 같이 이전에는,고아한 옵션의 가격결정 모델에 내장되어 있는 기본적인 프로세스를 재생산하는 실험적인 관계를 중 옵션 데이터를(가격,시간의 성숙에는 유형)기본 데이터와 프리미엄의 옵션을 관찰에서 시장., 기계 학습 방법을 가정하지 않고 아무것도에 대한 기본적인 프로세스;그들은 하려고 예측하는 기능 입력 데이터와 보험료,을 최소화하면 부여 비용 함수(일반적으로 의미 제곱 오류 사이의 모델은 가격 및 관찰된 가격에 시장)에 도달하는 좋은 밖의 샘플 performance.
가 진화하고 문학에 적용하는 다른 데이터 과학 방법 지원 같은 벡터 회귀분석이나 나무 앙상블지만,신경회로망과 같은 다층 perceptrons 일반적으로 잘 맞는 대한 옵션의 가격입니다., 대부분의 경우,이 옵션은 프리미엄 단조의 기능 매개변수,그래서 하나의 숨은 층을 제공하기 위해 필요한 것은 높은 정밀도와 모델이 어렵게 지나치게.
를 사용하여 기계에 대한 학습 가격 옵션은 새로운 개념;두 개의 관련의 초기의 작품에서 만들어졌는 1990 년대 초반을가지수 옵션에 대 S&P100S&P500.6,7 이러한 방법은 편리한 요즘의 가용성 덕분에 여러 가지 소프트웨어 패키지를 위해 신경망이 있습니다., 지만 가격 옵션은 쉽게되었다,그것은 여전히 약간 더보다 복잡한 로드 데이터 입력(옵션적 특성,데이터의 근본적인 자산)및 대상 데이터(보험료)키를 눌러”를 입력합니다.”신경망의 아키텍처를 설계하고 모델을 과도하게 맞추는 것을 피하는 한 가지 문제가 남아 있습니다.
가장 기계 학습 방법을 기반으로 반복적 과정을 찾기 위해 적절한 매개 변수를 최소화하는 방식으로 결과의 차이는 모델의 대상입니다., 그들은 일반적으로 학습하여 시작 의미 있는 관계,그러나 잠시 후 그들은 최소화만 sample-특정 오류를 줄이는 일반적인 성능에 대한 모델의 보이지 않는 out-of-샘플 데이터를 확보합니다. 이 문제를 처리하는 많은 방법이 있습니다;인기있는 것들 중 하나는 일찍 멈추는 것입니다. 이 방법은 분리가 원래 훈련 데이터를 훈련 및 유효성 검사 샘플을 실시 하며,모델에만 훈련 데이터와 평가에 그것을 검증 샘플입니다., 의 시작 부분에 학습 프로세스,오류의 유효성 검사 샘플을 감소한으로 동시에 오류가의 훈련 샘플지만,나중에 교육 및 검증 샘플을 시작하게 갈리는;오류 감소에만 훈련을 견본과 증가하는 유효성 검사에 샘플입니다. 이 현상은 매개 변수의 오버 피팅을 신호하며 동 기적으로 감소하는 단계의 끝에서 프로세스를 중지해야합니다.,
있는 모델에 더 많은 매개 변수가 될 수 있습 overfitted 더 쉽게,그래서 수 perceptrons 과 층 사이에서 균형을 잡는 학습을 중요한 기능과 일부를 잃기 때문에 정밀의 과대 적합. 학습률은 각 반복에서 매개 변수를 수정하는 정도를 결정합니다.이 설정은 중요한 설정이며 수동으로 설정해야합니다. 때때로 이러한 메타 파라미터는 유효성 검사 오류를 기반으로 결정되며,이를 선택하는 것은 과학보다 예술입니다., 기”가”매개 변수할 수 있는 더 나은 결과를 얻을 수 있지만,정확도를 얻은 동안 미세 조정은 일반적으로 감소하고,그래서 훈련한 모델은 좋은 충분히 한 후에 사용하는 몇 가지 시험 중이다.
성능 향상
위의 방법이 될 수 있습니다 일반적으로 향상시키기 위한 신경 네트워크 모델입니다. 많은 경우 문제 별 지식(이 경우 재무 지식)을 추가하면 모델의 성능을 향상시킬 수 있습니다., 이 시점에서,MLP 가 배운 좋은 근사치 옵션의 가격 수식,그러나 정밀도에 의해 결정되는 샘플 크기(일반적으로 수정)및 입력 변수입니다. 여기에서 성능을 더욱 향상시키는 세 가지 방법이 있습니다.
1. 모델이 옵션 가격 책정 공식을 더 잘 이해하는 데 도움이되는 입력 변수를 더 추가하십시오.피>2. 이상치를 필터링하여 입력 변수의 품질을 높입니다.피>3. 근사하기 쉬운 방식으로 함수를 변환하십시오.첫 번째 접근법은 매우 간단합니다., 모델에 새로운 변수를 도입하면 복잡성이 증가하고 오버 핏이 쉬워집니다. 결과적으로,각각의 새로운 변수는 증가 된 매개 변수 수를 보상하기 위해 모델의 예측 능력을 증가시켜야합니다. 기 때문에 옵션 가격의에 따라 예상되는 변동성의 근본적인 보안을 장래에,어떤 변수는 행위에 대한 프록시로 역사적 또는 묵시적 변동성은 일반적으로 MLP 더 정확합니다., 정확성을 향상시키기 위해 Loyola University Chicago 교수 인 Mary Malliaris 와 Linda Salchenberger 는 기본 보안 및 옵션의 지연 가격을 추가 할 것을 제안했습니다.두 번째 방법은 입력 변수의 품질을 높이는 것입니다. 기 때문에 가격이 미만의 액체 옵션에는 일반적으로 더 많은 노이즈보다 더 많은 액체가 사람을 필터링,이들 옵션의 정확도를 향상시 가격은 모델입니다., 그러면 우리가 추정하는 프리미엄에 대한 깊은 곳에서 돈이거나 돈이클리닝 방법을 제거할 수 있는 상당한 부분의 사용합니다. 따라서,그것은 중요한 연구자를 선택하는 필터링 기준을 선택할 수 있는 최적의 사이 떨어지는 이상값과 최대 금액을 유용한 정보를 제공합니다.
세 번째 방법—예술에 걸리는 방법—제 질문을 열면 신경 네트워크 대략적인 모든 기능,그리고 우리는 무엇을 해야 하는 것?, 이것은 실무자들 사이에서 가장 적은 양의 합의가있는 지점입니다.문제는 분명합니다:입력 매개 변수가있는 옵션이 얼마나 가치가 있는지 말하는 신경망의 최종 출력이 필요합니다. 그러나 그렇다고해서 최종 가격이 목표로 삼는 것이 가장 좋은 목표라는 의미는 아닙니다. 우리가 큰 표본 크기를 가지고있을 때 질문은 덜 관련이 있습니다. 데이터 집합이 작을 때 함수를 측정하는 가장 좋은 방법을 선택하면 정밀도를 더욱 높일 수 있습니다., 가장 자주택 솔루션은 다음과 같습니다:
를 예측하는 프리미엄의 옵션을 직접적으로 정보를 사용하여 우리가에서는 수학적 모델,예를 들어 추가 묵시적 변동성을 입력 변수입니다. 는 경우에도 우리는 성공적으로 오차를 최소화를 위한 함수의 프리미엄하는 것을 의미하지 않는다는 후 변환하여 최종 예측에 오류가 여전히 최고의 달성을 위한 프리미엄. 프리미엄을 직접 예측함으로써 최상의 결과를 강요하고 있습니다.,
옵션의 묵시적 변동성을 예측하고 Black-Scholes 공식에 다시 넣습니다. 즉 프리미엄을 읽을 수 있도록해야합니다. 여기서 큰 장점은 옵션의 프리미엄의 크기가 다르더라도 다른 대상 변수가 동일한 값 범위에 있다는 것입니다. 다른 블랙-숄즈 변수는 옵션 보험료를 예측하려고 시도 할 수 있지만 묵시적 변동성은 그 중 가장 인기가 있습니다.8
옵션 프리미엄과 파업 가격 사이의 비율을 추정하십시오., 기본 옵션 가격으로 작동과 같은 기하학적인 브라운 운동,속성을 줄이기 위해 사용할 수 있습의 번호를 입력 매개 변수가 있습니다. 이 경우,연구자는 사용 비율 사이에 근본적인 가격과 가격 중 하나로 입력 매개변수를 사용하는 대신 원본하고 공격 가격은 별도로. 이 솔루션은 데이터 집합의 크기가 작고 오버 피트 문제에 더 많이 노출 된 경우 매우 유용 할 수 있습니다.,
는 동안에 대한 의견 차이가있는 기능을 연구하려고,예측하는가에 대한 논쟁지 여부를 데이터 집합을 분할해야 하위 집합으로 기반으로 다양한 자질입니다. Malliaris 와 Salchenberger 는 in-the-money 와 out-of-the-money 옵션을 다른 데이터 세트로 분할해야한다고 주장합니다. 실용적인 관점에서,이 접근법은 옵션 보험료의 크기가 두 그룹에서 매우 다를 수 있기 때문에 유용 할 수 있습니다., Sovan Mitra,고위에서 강의 수리과학과 대학교에서 리버풀,는 것이라고 주장하는 경우에 데이터 있으로 분할이 너무 많은 부분의 기회,과대 적합 증가하고 모델의 정밀도에서의 샘플 결과가 감소합니다.9
세계는 Black,Scholes 및 Merton 이 1973 년 옵션 가격에 관한 독창적 인 논문을 발표 한 이래로 먼 길을왔다. 은 기하급수적으로 증가하는 전산 전원과 데이터를,특히 지난 십 년간 허용하고 있는 연구자를 적용하는 기계 기법을 학습하는 가격은 유래물과 정밀도 예상치 못한에서’70s and’80s., 당시 옵션 가격 책정은 확률 적 미적분의 기초에 기초한 이론적 모델에 의해 주로 주도되었습니다. 이 문서에서 제공하는 다른 방법을 사용하는 기계 학습,특히 신경회로망,가격을 옵션으로 데이터 기반 접근 방법이다. 우리가 믿는 우리는 이 방법이 될 수 있는 소중한 도구 세트의 금융 엔지니어를 대체할 수 있는 전통적인 방법에서 많은 응용 프로그램 영역입니다.
Balazs Mezofi 는 Worldquant,LLC 의 양적 연구원이며 부다페스트의 Corvinus University 에서 보험 계리 및 금융 수학 석사 학위를 취득했습니다.,
크리스토프 자보 수석 정량적 연구에서 WorldQuant,LLC 는,그리고는 MSc 계리 및 금융 수학에서 Eötvös Loránd University 부다페스트에서.나는 이것을 할 수 없다. 스티븐 엠 쉐퍼. “Robert Merton,Myron Scholes 및 파생 상품 가격 책정 개발.”스칸디나비아 경제 저널 100,no.2(1998):425-445.피>2. 조지 시벤코. “Sigmoidal 함수의 중첩에 의한 근사치.”제어,신호 및 시스템의 수학 2,no.4(1989):303-314.피>3. 커트 호 닉,맥스웰 B.Stinchcombe 및 할버트 화이트., “다층 피드 포워드 네트워크는 보편적 인 근사치입니다.”신경망 2,no.5(1989):359-366.피>4. 프랭크 로젠 블랏. “퍼셉트론:뇌의 정보 저장 및 조직을위한 확률 론적 모델.”심리학 검토 65,no.6(1958):386-408.피>6. Mary Malliaris 와 Linda M.Salchenberger. “옵션 가격을 추정하기위한 신경망 모델.”응용 지능 3,no.3(1993):193-206.피>7. James M.Hutchinson,Andrew W.Lo 및 Tomaso Poggio. “학습 네트워크를 통한 파생 상품 증권의 가격 책정 및 헤징에 대한 비모수 적 접근법.,”금융 저널 49,no.3(1994):851-889.피>8. Mary Malliaris 와 Linda Salchenberger. “신경망을 사용하여 S&P100 을 예측하면 변동성이 암시됩니다.”Neurocomputing10,no.2(1996):183-195.피>9. 소반 케이 미트라. “신경망 접근법과 블랙 스콜스 공식을 결합한 옵션 가격 책정 모델.”글로벌 컴퓨터 과학 기술 저널 12,no.4(2012).
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