1973年、Fischer Black、Myron Scholes、Robert Mertonは、定量的金融の発展に大きな影響を与えるであろう彼らの今よく知られているオプション価格設定式を発表しました。,1彼らのモデル（典型的にはブラック-ショールズとして知られている）では、オプションの価値は、株式の将来のボラティリティではなく、その期待リターン 彼らの価格設定式は、株価が幾何学的なブラウン運動に従うという仮定に基づく理論主導のモデルであった。, 1973年にシカゴ-ボード-オプション取引所（Cboe）が開設されたことを考えると、フロッピーディスクはわずか二年前に発明され、IBMは最初のPC（二つのフロッピードライブを持っていた）を導入してからまだ八年であり、実際のオプション価格に基づくデータ駆動型アプローチを使用すると、ブラック、ショールズ、マートンにとっては当時はかなり複雑であった。 彼らの解決策は顕著ですが、いくつかの経験的知見を再現することはできません。, ブラック-ショールズの最大の欠陥の一つは、基礎となるオプションのモデルのボラティリティと市場から観察されたボラティリティ（いわゆるインプ
今日の投資家は選択肢があります。 私たちは、最先端のコンピュータが1970年代に持っていたよりも私たちの携帯電話でより多くの計算能力を持っており、利用可能なデータは指数関数的に その結果、オプションの価格設定には、異なるデータ駆動型のアプローチを使用できます。 ここでは，ニューラルネットワークを用いた経験的方法に基づくオプション価格の解を示した。, ニューラルネットワークなどの機械学習手法の主な利点は、モデル駆動型アプローチと比較して、オプション価格の経験的特性のほとんどを再現できることです。
オプション価格の紹介
オプションとして知られている金融デリバティブでは、買い手は売り手に価格を支払い、将来指定された時点で指定された価格で金融商品を売買する権利を購入します。 オプションは、リスク管理、取引、管理報酬など、多くの金融アプリケーションに役立ちます。, 当然のことながら、オプションの信頼性の高い価格設定モデルを作成することは、学界で活発な研究分野でした。
この研究の最も重要な結果の一つは、このような基礎となる株式の価格、市場のリスクフリー金利、オプションの有効期限までの時間、契約の行使価格, Black-Scholesの前に、実務家は投資プロジェクトの評価と同様に、プットコールパリティまたは想定されるリスクプレミアムに基づく価格設定モデルを使用し コーポレートファイナンスでは、企業の評価のための最も頻繁に使用されるモデルの一つは、その割引未来キャッシュフローの合計として会社の現在価値を 割引率は、その会社に資本を投資するという認識されたリスクに基づいています。, Black-Scholesの背後にある革命的な考え方は、株価にはすでにこの情報が含まれているため、オプションを評価するときにリスクプレミアムを使用する必要 1997年、スウェーデン王立科学アカデミーは、彼らの画期的な仕事のためにマートンとスコールズにノーベル経済科学賞を授与しました。 （ブラックは賞金を分け合わなかった。 彼は1995年に死亡し、ノーベル賞は死後に授与されていません。,)
すべてのオプション価格が市場で利用可能な場合,ブラック*ショールズは、オプション価格に基づいて、いわゆるインプライド*ボラティリティを計算す ブラック-ショールズに基づいて、インプライド-ボラティリティは、オプションのすべての行使価格のために同じでなければならないが、実際には研究者 代わりに、それは歪んでいるか、笑顔の形をしています。
研究者は積極的に経験的に観察されたインプライドボラティリティの表面を再現することができる方法でオプションを価格することができ, 一つの一般的なソリューションは、原資産のボラティリティが別の確率過程を使用して決定されるヘストンモデルです。 メリーランド大学の数学者スティーブン—ヘストンにちなんで名付けられたこのモデルは、インプライド—ボラティリティを含む多くの経験的知見を再現, 価格モデルが進化するにつれて、以下の困難が生じた：
•基礎となる価格ダイナミクスは数学的により複雑になり、より一般的になった—例えば、ブラウンの動きの代わりにレヴィプロセスを使用する。
•オプションの価格設定は、より多くのリソース集約的になりました。 Black-Scholesモデルには、ヨーロッパのコールオプションの価格設定のための閉じた形式のソリューションがありますが、今日の人々は通常、より計算集約的なモンテカルロ法
•価格設定モデルを理解して使用するには、より深い技術的知識が必要です。,
オプションの価格設定に機械学習手法を適用すると、これらの問題のほとんどが解決されます。 データポイントの数が十分に大きい場合、関数の入力と出力に基づいて関数を近似することができるさまざまなアルゴリズムがあります。 我々は契約条件（入力）とオプション（出力）のプレミアムの間の関数としてオプションを参照してください場合、我々は単にオプションや株式市場に関連す, 後で、モデルに財務知識を追加することで、結果の精度を向上させることができますが、基本的なレベルでは財務関連の情報は必要ありません。
これらの近似技術の一つは、多くの有用な特性を有する人工ニューラルネットワークを使用する。, つまり、サンプルが十分に大きく、アルゴリズムが十分に複雑であれば、George Cybenko(1989)2とKurt Hornik,Maxwell B.Stinchcombe and Halbert White(1989)によって示されるように、ネットワークが学習した関数は実用的な目的のために実際の関数に十分に近くなるということです。3人工ニューラルネットワークに適した大規模データベースでの計算を実行できる複数のコンピュータで行なった。, トレーニングにはかなり時間がかかりますが、プロセスが終了し、関数の近似が準備されると、予測は非常に高速です。
ニューラルネットワーク
ニューラルネットワークの本質的な概念は、人間の脳の行動をモデル化し、入力データから情報を抽出するためにその脳の数学的定式化を作成することである。, ニューラルネットワークの基本単位はパーセプトロンであり、ニューロンの挙動を模倣し、1957年4月にアメリカの心理学者Frank Rosenblattによって発明されたが、1986年にDavid Rumelhart、Geoffrey Hinton、Ronald Williamsが人工ニューロンを訓練する方法を示した逆伝搬アルゴリズムに関する影響力のある論文を発表するまで、ニューラルネットワークの可能性は解き放たれなかった。5この発見の後、この記事の焦点である多層パーセプトロン（MLP）を含む多くのタイプのニューラルネットワークが構築されました。,
MLPはパーセプトロンの層で構成されており、それぞれに入力があります：前の層からのパーセプトロンの出力の合計にその重みを掛けたものです。 パーセプトロンは、非線形活性化関数（S字型シグモイド関数など）を使用して、入力信号を出力信号に変換し、これらの信号を次の層に送信します。 このレイヤーのパーセプトロンは、入力データである出力だけを持ちます。, 最後の層（出力層）は、回帰問題では通常、単一のパーセプトロンで構成されるという意味でユニークです。 これら二つの層の間の任意の層は、通常、隠れ層と呼ばれます。 隠れ層が一つあるMLPの場合、図1の視覚化は次のとおりです。,
図1は、隠れ層と入力層の間に数学的に書くことができます。
そして最終出力と隠れ層の間には次のようになります。
ここで、f1とf2は活性化関数であり、αとβは層間の重み行列を含み、θは0平均の誤差項です。,
計算の最初のステップは重み行列をランダムに初期化することであり、このプロセスは入力変数を予測出力に変換するために使用されます。 この出力を使用して、損失関数の値を計算し、トレーニングデータを使用して実結果と予測結果を比較することができます。 逆伝播法を使用してモデルの勾配を計算し、重み行列を更新するために使用できます。, 重みが更新された後、損失関数の値は小さくなり、学習データの予測誤差が減少したことを示します。 前の手順は、モデルが収束し、予測誤差が許容できるようになるまで繰り返す必要があります。
前のプロセスは複雑に見えるかもしれませんが、ユーザーが実装の詳細ではなく、高レベルの問題に集中できるようにする既製のプログラミングパッケージがたくさんあります。, ユーザーの責任は、入出力データを正しい形式に変換し、ニューラルネットワークのパラメータを設定し、学習フェーズを開始することです。 通常、最も重要なパラメータは、各層のニューロンの数と層の数です。
多層パーセプトロンによる価格設定オプション
前に示したように、古典的なオプション価格モデルは、オプションデータ（行使価格、成熟までの時間、タイプ）、基礎となるデータ、および市場で観察可能なオプションのプレミアム間の経験的関係を再現する基礎となるプロセスに基づいて構築されている。, 機械学習法は、入力データとプレミアムの間の関数を推定し、与えられたコスト関数（通常はモデル価格と市場で観測された価格との間の平均二乗誤差）を最小にして、サンプル外の良好なパフォーマンスに到達しようとしています。
サポートベクトル回帰やツリーアンサンブルなどの他のデータ科学手法を適用した進化する文献がありますが、多層パーセプトロンのようなニューラルネットワーク, ほとんどの場合、オプションプレミアムはパラメータの単調関数であるため、高精度を実現するためには隠れ層が一つだけ必要であり、モデルはオーバートレーニングが困難です。
価格設定オプションに機械学習を使用することは新しい概念ではなく、1990年代初頭にs&P100とS&P500.6,7の物価指数オプションに関連する初期の作品が作成された。, 価格オプションは簡単になりましたが、入力データ（オプション特性、原資産のデータ）とターゲットデータ（プレミアム）をロードして”enter”を押すよりもやや複雑です。”一つの問題は、ニューラルネットワークのアーキテクチャを設計し、モデルをオーバーフィッ
ほとんどの機械学習手法は、モデルの結果とターゲットとの間の差を最小限に抑える方法で適切なパラメータを見つけるための反復的なプロセスに基づいています。, 通常、意味のある関係を学習することから始めますが、しばらくすると、サンプル固有の誤差のみを最小限に抑え、目に見えないサンプル外データに対するモデルの一般的な性能を低下させます。 この問題に対処する方法はたくさんありますが、人気のあるものの一つは早期停止です。 この方法で分離し、独自のトレーニングデータの育成および検証サンプル、指導のモデルだけの訓練データや評価、検証のサンプルです。, 学習プロセスの開始時に、検証サンプルの誤差は学習サンプルの誤差と同期して減少しますが、その後、学習サンプルと検証サンプルが発散し始め この現象はパラメータのオーバーフィッティングを示し，プロセスは同期的に減少するフェーズの終わりに停止する必要がある。,
より多くのパラメータを持つモデルは、より簡単にオーバーフィットすることができるので、パーセプトロンとレイヤーの数は、重要なフィーチャを学習し、オーバーフィッ これは重要な設定であり、手動で設定する必要があります。 これらのメタパラメータは、検証エラーに基づいて決定されることがあります。, “最良の”パラメーターを選択すると、より良い結果が得られますが、微調整の際に得られる精度は通常低下するため、訓練されたモデルはわずか数回試行した後に使用するのに十分です。
パフォーマンスの向上
上記の方法は、一般的にニューラルネットワークモデルの改善に使用することができます。 多くの場合、問題固有の知識(この場合は財務知識)を追加すると、モデルのパフォーマンスが向上します。, この時点で、MLPはすでにオプション価格設定式の良い近似を学習していますが、精度はサンプルサイズ（通常は固定）と入力変数によって決まります。 ここから、さらにパフォーマンスを向上させるための三つの方法があります。
1. モデルがオプション価格設定式をよりよく理解するのに役立つ入力変数を追加します。
2. 外れ値をフィルタリングして、入力変数の品質を向上させます。
3. 近似しやすい方法で関数を変換します。
最初のアプローチは非常に簡単です。, 新しい変数をモデルに導入すると、その複雑さが増し、オーバーフィットが容易になります。 その結果、それぞれの新しい変数は、増加したパラメータ数を補償するためにモデルの予測力を増加させなければならない。 オプション価格は、将来の基礎となるセキュリティの予想ボラティリティに依存しているため、,歴史的またはインプライド*ボラティリティのプロ, 精度を向上させるために、Loyola University Chicagoの教授Mary MalliarisとLinda Salchenbergerは、基礎となるセキュリティとオプションの遅延価格を追加することを提案しました。
第二の方法は、入力変数の品質を向上させることです。 液体の少ないオプションの価格は、通常、液体の多いオプションよりも多くのノイズが含まれているため、これらのオプションをフィルタリングす, しかし、ディープ-イン-ザ-マネーまたはアウト-オブ-ザ-マネーのオプションのプレミアムを見積もりたい場合、このクリーニング方法は、使用されたデータセットのかな したがって、研究者にとっては、外れ値を落とすことと、有用な情報の最大量を維持することの間で最適な選択であるフィルタリング基準を選択す
第三のアプローチ—アートが方法論を引き継ぐ場所-未解決の問題を提起する：ニューラルネットワークが任意の機能を近似できる場合、我々は何を予測すべき, これは、実務家の間でコンセンサスの最小量がある点です。
問題は明らかです：私たちは、入力パラメータを持つオプションが価値があるどのくらい言うニューラルネットワークからの最終的な出力が必要です。 しかし、それは最終的な価格が目指すべき最良の目標であることを意味するものではありません。 問題は、サンプルサイズが大きい場合にはあまり関連性がありません。 データセットが小さい場合、関数を測定する最良の方法を選択すると、精度がさらに高くなります。, 最も頻繁に選択されるソリューションは次のとおりです。
潜在的に我々は数学的モデルから持っている情報を使用して、直接オプションのプレミアムを予測—例えば、入力変数にインプライドボラティリティを追加します。 プレミアムの関数に対する誤差をうまく最小限に抑えたとしても、それは最終的な予測に変換した後でも、プレミアムにとって最良の達成可能な誤差であるということを意味するものではありません。 プレミアムを直接予測することにより、最良の結果を強制しています。,
オプションのインプライド-ボラティリティを予測し、ブラック-ショールズ式に戻します。 それはpremiumを読みやすくするはずです。 ここでの大きな利点は、オプションのプレミアムの大きさが異なっていても、異なるターゲット変数が同じ値の範囲にあることです。 その他のBlack-scholesモデルの変数を使用することができます試してみを予測するオプション、正味収入保険料が暗黙のボラティリティの一番人気。8
オプションプレミアムと行使価格の比率を見積もります。, 基礎となるオプション価格が幾何学的なブラウン運動のように動作する場合、そのプロパティを使用して入力パラメータの数を減らすことができ この場合、研究者は、原資産と行使価格を別々に使用するのではなく、原資産の価格と行使価格の比率を入力パラメータの一つとして使用します。 このソリューションは、データセットのサイズが小さく、過剰適合の問題にさらされている場合に非常に役立ちます。,
研究者がどの機能を予測しようとすべきかについては意見の相違がありますが、データセットをさまざまな性質に基づいてサブセットに分割するかどうかについては、第二の議論があります。 MalliarisとSalchenbergerは、イン-ザ-マネーとアウト-オブ-ザ-マネーのオプションを異なるデータセットに分割する必要があると主張しています。 オプション保険料の大きさは、二つのグループで非常に異なることができるので、実用的な観点から、このアプローチは有用であり得る。, リバプール大学の数理科学の上級講師であるSovan Mitraは、データがあまりにも多くの部分に分割されると、オーバーフィットの可能性が高くなり、サンプル外の結果に対するモデルの精度が低下すると主張している。9
ブラック、スコールズとマートンは1973年にオプション価格に関する彼らの精液の論文を発表して以来、世界は長い道のりを歩んできました。 計算能力とデータの指数関数的な成長は、特に過去十年間にわたって、研究者は70年代と80年代に予期しない精度で価格デリバティブに機械学習技術を適用することができました。, 当時、オプション価格は主に確率微積分の基礎に基づく理論モデルによって駆動されていました。 この記事では、機械学習、特にニューラルネットワークを使用して、データ駆動型のアプローチでオプションに価格を設定する別の方法を提供します。 このアプローチできる貴重なほかのツールセットの金融技術が置き換え方法についてです。
Balazs MezofiはWorldQuant、LLCの定量的研究者であり、ブダペストのCorvinus大学で数理計算上および金融数学の修士号を取得しています。,
Kristof SzaboはWorldQuant、LLCの上級定量研究員であり、ブダペストのEötvös Loránd大学で数理計算上および金融数学の修士号を取得しています。
文末注
1. スティーブン-M-シェーファー “ロバート*マートン、マイロン*スコールズとデリバティブ価格の開発。”スカンジナビア経済ジャーナル100、no.2（1998）：425-445。
2. ジョージ-サイベンコ “シグモイド関数の重ね合わせによる近似。”制御、信号およびシステムの数学2、no.4（1989）：303-314。
3. カート-ホーニック、マクスウェル-B-スティンチコム、ハルバート-ホワイト, “多層フィードフォワードネットワ”ニューラルネットワーク2,no.5(1989):359-366.
4. フランク-ローゼンブラット “パーセプトロン：脳における情報の記憶と組織のための確率モデル。”心理レビュー65、no.6（1958）：386-408。
6. メアリー-マリアリスとリンダ-M-サルチェンバーガー。 “オプション価格を推定するためのニューラルネットワ”応用インテリジェンス3、no.3（1993）：193-206。
7. ジェームズ-M-ハッチンソン、アンドリュー-W-ロー、トマソ-ポッジョ。 “は、ノンパラメトリックアプローチへの価格ヘッジ有価証券経由の学習ネットワーク。,”ファイナンスのジャーナル49、no.3（1994）：851-889。
8. メアリー-マリアリスとリンダ-サルチェンバーガー “Sを予測するためにニューラルネットワークを使用して&P100インプライドボラティリティ。”ニューロコンピューティング10,no.2(1996):183-195.
9. ソヴァン-K-ミトラ “オプション価格モデルに合わせた神経ネットワークアプローチと黒のショールズ式”コンピュータ科学と技術のグローバルジャーナル12,no.4(2012).
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