1973-ban Fischer Black, Myron Scholes és Robert Merton közzétették a ma már jól ismert opciós árképzési formulájukat, amely jelentős hatással lenne a mennyiségi finanszírozás fejlődésére.,1 modelljükben (általában fekete-Scholes néven ismertek) egy opció értéke az állomány jövőbeli volatilitásától függ, nem pedig a várható hozamtól. Árképzési formulájuk elméletvezérelt modell volt, amely azon a feltételezésen alapult, hogy a részvényárak a geometriai Brown-mozgást követik., Figyelembe véve, hogy a Chicago Board Options Exchange (CBOE) az 1973-ban megnyitott, a hajlékonylemez-már feltalálták, a két évvel korábban az IBM volt még nyolc év múlva bemutatkozik az első PC-n (ami már két floppy meghajtók), használata adatok-vezérelt megközelítés alapján valós opciók árak lett volna elég bonyolult a Fekete, Scholes pedig Merton. Bár a megoldás figyelemre méltó, nem képes reprodukálni néhány empirikus megállapítást., A Black-Scholes egyik legnagyobb hibája az alapul szolgáló opció modell-volatilitása és a piac által megfigyelt volatilitás (az úgynevezett implikált volatilitási felület) közötti eltérés.
ma a befektetők választhatnak. Mobiltelefonjainkban több számítási teljesítmény van, mint az 1970-es években a legkorszerűbb számítógépekben, és a rendelkezésre álló adatok exponenciálisan növekednek. Ennek eredményeként egy másik, adatvezérelt megközelítést alkalmazhatunk az opciók árazásához. Ebben a cikkben egy megoldást mutatunk be a neurális hálózatokat használó empirikus módszeren alapuló opciók árazására., A gépi tanulási módszerek, például a neurális hálózatok fő előnye a modellvezérelt megközelítésekhez képest az, hogy képesek reprodukálni az opciók árának empirikus jellemzőit.
Bevezetés Az Opciók Árazásába
az opciók néven ismert pénzügyi derivatívákkal a vevő árat fizet az eladónak, hogy a jövőben meghatározott áron vásároljon vagy adjon el egy pénzügyi eszközt. Az opciók számos pénzügyi alkalmazás számára hasznosak lehetnek, beleértve a kockázatkezelést, a kereskedést és a menedzsment kompenzációt., Nem meglepő, hogy az opciók megbízható árképzési modelljeinek létrehozása aktív kutatási terület volt a tudományos életben.
a kutatás egyik legfontosabb eredménye a Black-Scholes képlet volt, amely egy opció árát több bemeneti paraméter alapján adja meg, például az alapul szolgáló készlet ára, a piac kockázatmentes kamatlába, az opció lejárati idejéig, a szerződés sztrájkáráig és az alapul szolgáló készlet volatilitásáig., A Black-Scholes előtt a szakemberek árképzési modelleket alkalmaztak a felhívási paritás vagy a befektetési projektek értékeléséhez hasonló feltételezett kockázati prémium alapján. A vállalati pénzügyekben a vállalatok értékelésének egyik leggyakrabban használt modellje a diszkontált cash flow modell (DCF), amely a Társaság jelenértékét diszkontált jövőbeli cash flow-k összegeként számítja ki. A diszkontráta az adott vállalatba történő tőkebefektetés vélt kockázatán alapul., A Black-Scholes mögött álló forradalmi ötlet az volt, hogy nem szükséges a kockázati prémiumot használni egy opció értékelésekor, mivel a részvény ára már tartalmazza ezeket az információkat. 1997-ben a Svéd Királyi Tudományos Akadémia Mertonnak és Scholesnek ítélte a Gazdaságtudományi Nobel-díjat úttörő munkájukért. (Fekete nem osztozott a díjban. 1995-ben halt meg, és a Nobel-díjakat nem posztumusz ítélték oda.,)
Ha az összes opciós ár elérhető a piacon, a Black-Scholes felhasználható az úgynevezett implicit volatilitás kiszámításához az opciós árak alapján, mivel a képlet összes többi változója ismert. A Black-Scholes alapján az implikált volatilitásnak azonosnak kell lennie az opció összes sztrájkárára, de a gyakorlatban a kutatók azt találták, hogy az opciók implikált volatilitása nem állandó. Ehelyett ferde vagy mosoly alakú.
A kutatók aktívan keresik azokat a modelleket, amelyek képesek az áropciókat oly módon reprodukálni, hogy az empirikusan megfigyelt implikált volatilitási felület reprodukálható legyen., Az egyik népszerű megoldás a Heston modell, amelyben az alapul szolgáló eszköz volatilitását egy másik sztochasztikus folyamat segítségével határozzák meg. A modell, elnevezett University of Maryland matematikus Steven Heston, képes reprodukálni számos empirikus megállapítások – beleértve hallgatólagos volatilitás -, de nem mindegyik, így a pénzügyi mérnökök használt különböző fejlett mögöttes folyamatok, hogy dolgozzon ki megoldásokat generál empirikus megállapítások., Az árképzési modellek fejlődésével a következő nehézségek merültek fel:
• az alapul szolgáló árdinamika matematikailag összetettebb lett, általánosabbá vált — például a Lévy folyamatok használata a Brown-mozgások helyett.
* az opciók árazása erőforrás-intenzívebbé vált. Bár a Black-Scholes modell zárt formájú megoldást kínál az Európai hívási lehetőségek árazására, manapság az emberek általában számításigényesebb Monte Carlo módszereket használnak ezek árára.
• az árképzési modellek megértéséhez és használatához mélyebb technikai ismeretekre van szükség.,
a gépi tanulási módszerek alkalmazása az opciók árazására a legtöbb problémát megoldja. Vannak különböző algoritmusok, amelyek képesek a függvény bemenetei és kimenetei alapján közelíteni egy függvényt, ha az adatpontok száma elég nagy. Ha az opciót a szerződéses feltételek (inputok) és az opció (output) prémiuma közötti funkciónak tekintjük, akkor egyszerűen figyelmen kívül hagyhatjuk az opciókkal vagy részvénypiacokkal kapcsolatos összes pénzügyi kérdést., Később látni fogjuk, hogy a pénzügyi ismeretek visszaadása a modellbe hogyan segíthet javítani az eredmények pontosságát, de alapszinten nincs szükség pénzügyekkel kapcsolatos információkra.
Ezen közelítési technikák egyike mesterséges neurális hálózatokat használ, amelyek számos hasznos tulajdonsággal rendelkeznek., Például a mesterséges neurális hálózatok egyes tagjai univerzális közelítők-ami azt jelenti, hogy ha a minta elég nagy, és az algoritmus elég összetett, akkor a hálózat által megtanult funkció bármilyen gyakorlati célra elég közel lesz a valósághoz, amint azt George Cybenko (1989)2 és Kurt Hornik, Maxwell B. Stinchcombe és Halbert White (1989) mutatta.3 mesterséges neurális hálózatok alkalmasak nagy adatbázisok, mert a számítások könnyen elvégezhető több számítógépen párhuzamosan., Az egyik legérdekesebb tulajdonságuk a számítási sebesség kettőssége: bár a képzés elég időigényes lehet, ha a folyamat befejeződik, és a függvény közelítése készen áll, az előrejelzés rendkívül gyors.
neurális hálózatok
a neurális hálózatok alapvető koncepciója az emberi agy viselkedésének modellezése, az agy matematikai megfogalmazása az információ kinyeréséhez a bemeneti adatokból., A neurális hálózat alapegysége a perceptron, amely egy neuron viselkedését utánozza, és Frank Rosenblatt amerikai pszichológus találta ki 1957.4-ben, de a neurális hálózatok potenciálját csak 1986-ban szabadították fel, amikor David Rumelhart, Geoffrey Hinton és Ronald Williams közzétették befolyásos tanulmányukat a backpropagation algoritmusról, amely megmutatta a mesterséges neuronok képzésének módját.5 a felfedezés után sokféle neurális hálózat épült, köztük a többrétegű perceptron (MLP), amely a cikk középpontjában áll.,
az MLP perceptronok rétegeiből áll, amelyek mindegyikének van bemenete: az előző réteg perceptronjainak kimenetének összege szorozva a súlyukkal; minden perceptron esetében eltérő lehet. A perceptronok egy nemlineáris aktiválási funkciót (például az S-alakú sigmoid funkciót) használnak, hogy a bemeneti jeleket kimeneti jelekké alakítsák, majd ezeket a jeleket a következő rétegbe küldjék. Az első réteg (a bemeneti réteg) egyedi; a perceptronok ebben a rétegben csak egy kimenettel rendelkeznek, amely a bemeneti adatok., Az utolsó réteg (a kimeneti réteg) egyedülálló abban az értelemben, hogy regressziós problémákban általában egyetlen perceptronból áll. A két réteg közötti rétegeket általában rejtett rétegeknek nevezik. Egy rejtett réteggel rendelkező MLP esetében a vizualizáció az 1. ábrán látható.,
1. Ábra lehet írni matematikailag között a rejtett réteg, valamint a bemeneti réteg, mint:
között a végső kimenet, valamint a rejtett réteg, mint:
amennyiben az f1 billentyűt, majd az f2 vagy aktiválás funkciók, α, illetve β tartalmaznak súly mátrixok rétegek közötti, valamint ε hiba kifejezést, hogy a 0 jelenti.,
a számítás első lépése a súlymátrixok véletlenszerű inicializálása; ez a folyamat a bemeneti változók előrejelzett kimenetre történő átalakítására szolgál. Ezzel a kimenettel kiszámítható a veszteségfüggvény értéke, összehasonlítva a valós és az előrejelzett eredményeket a képzési adatok felhasználásával. A backpropagation módszer lehet használni, hogy kiszámítja a gradiensek a modell, amely akkor lehet használni, hogy frissítse a tömeg mátrixok., A súlyok frissítése után a veszteségfüggvénynek kisebb értékűnek kell lennie, jelezve, hogy a képzési adatok előrejelzési hibája csökkent. Az előző lépéseket addig kell megismételni, amíg a modell konvergál, és az előrejelzési hiba elfogadható.
bár az előző folyamat bonyolultnak tűnhet, sok olyan polcon kívüli programozási csomag létezik, amelyek lehetővé teszik a felhasználók számára, hogy a megvalósítás részletei helyett a magas szintű problémára koncentráljanak., A felhasználó felelőssége, hogy a bemeneti és kimeneti adatokat a megfelelő formába konvertálja, beállítsa a neurális hálózat paramétereit, majd elindítsa a tanulási fázist. Jellemzően a legfontosabb paraméterek az egyes rétegekben lévő neuronok száma és a rétegek száma.
árazási lehetőségek többrétegű Perceptronokkal
amint azt korábban bemutattuk, a klasszikus opciók árképzési modelljei olyan alapul szolgáló folyamatra épülnek, amely reprodukálja az opciós adatok (strike price, time to maturity, type), az alapul szolgáló adatok és a piacon megfigyelhető opció prémiuma közötti empirikus kapcsolatot., A gépi tanulási módszerek nem vállalnak semmit az alapul szolgáló folyamatról; megpróbálják megbecsülni a bemeneti adatok és a díjak közötti függvényt, minimalizálva egy adott költségfüggvényt (általában a modellár és a piacon megfigyelt ár közötti átlagos négyzetes hibát), hogy elérjék a jó mintán kívüli teljesítményt.
van egy fejlődő irodalom alkalmazása egyéb adatok tudományos módszerek, mint például a support vector regresszió vagy fa együttesek, de neurális hálózatok, mint a többrétegű perceptrons általában jól illeszkednek az opciók árazási., A legtöbb esetben a premium opció a paraméterek monotonikus funkciója, így csak egy rejtett rétegre van szükség a nagy pontossághoz, a modellt pedig nehezebb túllépni.
a gépi tanulás használata az árképzési lehetőségekhez nem új fogalom; az 1990-es évek elején két releváns korai mű jött létre az S&P 100 és az S&p 500.6,7 ezek a módszerek manapság kényelmesek, mivel számos szoftvercsomag elérhető a neurális hálózatokhoz., Bár az árazási lehetőségek könnyebbé váltak, még mindig kissé bonyolultabb, mint a bemeneti adatok (opciók jellemzői, az alapul szolgáló eszköz adatai) és a céladatok (díjak) betöltése, valamint az “enter” megnyomása.”Az egyik probléma továbbra is fennáll: a neurális hálózat architektúrájának megtervezése, valamint a modell túlerősítésének elkerülése.
a legtöbb gépi tanulási módszer egy iteratív folyamaton alapul, hogy megtalálja a megfelelő paramétereket oly módon, hogy minimalizálja a modell eredményei és a cél közötti különbséget., Általában értelmes kapcsolatok elsajátításával kezdődnek, de egy idő után minimalizálják csak a minta-specifikus hibát, és csökkentik a modell általános teljesítményét láthatatlan, mintán kívüli adatokon. Számos módja van ennek a problémának a kezelésére; az egyik népszerű a korai megállás. Ez a módszer az eredeti képzési adatokat képzési és validációs mintákra bontja, a modellt csak a képzési adatokra utasítja, majd az validációs mintán értékeli., A tanulási folyamat kezdetén a validációs minta hibája szinkronban csökken a képzési minta hibájával, de később a képzési és validációs minták elkezdenek eltérni; a hiba csak a képzési mintában csökken, a validációs minta pedig növekszik. Ez a jelenség jelzi a paraméterek túlcsordulását, a folyamatot pedig a szinkronban csökkenő fázis végén le kell állítani.,
a több paraméterrel rendelkező modellek könnyebben felülírhatók, így a perceptronok és rétegek számát ki kell egyensúlyozni a fontos jellemzők megtanulása és a túlcsordulás miatt némi pontosság elvesztése között. A tanulási sebesség határozza meg, hogy az egyes iterációk paramétereit mennyit kell módosítani; ez egy fontos beállítás, amelyet manuálisan kell beállítani. Néha ezeket a metaparamétereket validációs hibák alapján határozzák meg; ezek kiválasztása inkább művészet, mint tudomány., Felvette a “legjobb” paraméter jobb eredményt, de a pontosság során szerzett finomhangolás általában csökken, így a képzett modell elég jó ahhoz, hogy használata után néhány vizsgálatok.
teljesítmény javítása
a fent említett módszerek általában a neurális hálózati modellek javítására használhatók. Sok esetben a problémaspecifikus ismeretek (ebben az esetben a pénzügyi ismeretek) hozzáadása javíthatja a modell teljesítményét., Ezen a ponton, az MLP már megtanult egy jó közelítés a lehetőségek árképzési képlet, de a pontosság határozza meg a minta mérete (ami általában fix), valamint a bemeneti változók. Innen háromféleképpen lehet tovább javítani a teljesítményt:
1. Adjon hozzá további bemeneti változókat, amelyek segítenek a modellnek jobban megérteni az opciók árképzési képletét.
2. Növelje a bemeneti változók minőségét a kiugró értékek kiszűrésével.
3. A funkciót úgy alakítsa át, hogy könnyebb legyen közelíteni.
az első megközelítés meglehetősen egyszerű., Egy új változó bevezetése a modellbe növeli annak összetettségét, és megkönnyíti a túlfűtöttséget. Ennek eredményeként minden új változónak növelnie kell a modell prediktív teljesítményét a megnövekedett paraméterek számának kompenzálására. Mivel az opciós árak a jövőben az alapul szolgáló biztosíték várható volatilitásától függenek, minden olyan változó, amely a történelmi vagy vélelmezett volatilitás proxyjaként működik, általában pontosabbá teszi az MLP-t., A pontosság javítása érdekében a Loyola University Chicagói professzorai, Mary Malliaris és Linda Salchenberger javasolták az alapul szolgáló biztonság és a lehetőség késedelmes árainak hozzáadását.
a második módszer a bemeneti változók minőségének növelése. Mivel a kevésbé folyékony opciók árai általában több zajt tartalmaznak, mint a folyékonyabbak, ezeknek a lehetőségeknek a kiszűrése javítja az árképzési modell pontosságát., De ha meg akarjuk becsülni a pénzen belüli vagy pénzen kívüli opciók prémiumát, ez a tisztítási módszer kiküszöbölheti a használt adatkészlet jelentős részét. Ezért fontos, hogy a kutatók olyan szűrési kritériumokat válasszanak, amelyek az optimális választás a kiugró értékek csökkentése és a hasznos információk maximális mennyiségének megtartása között.
a harmadik megközelítés — ahol a művészet átveszi a módszertant — nyitott kérdést vet fel: ha a neurális hálózat bármilyen funkciót megközelít, akkor mit kell előrejeleznünk?, Ez az a pont, ahol a legkevésbé konszenzus van a gyakorlók között.
a probléma egyértelmű:szükségünk van egy végső kimenetre a neurális hálózatból, amely azt mondja, hogy mennyit ér egy lehetőség a bemeneti paraméterekkel. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a végső ár a legjobb cél. A kérdés kevésbé releváns, ha nagy mintaméretünk van. Ha az adatkészlet kicsi, a funkció mérésének legjobb módjának kiválasztása tovább növelheti a pontosságot., A leggyakrabban választott megoldások a következők:
előre jelezze az opció prémiumát közvetlenül, potenciálisan a matematikai modellekből származó információk felhasználásával-például implicit volatilitás hozzáadásával a bemeneti változókhoz. Még akkor is, ha sikeresen minimalizáljuk a prémium funkció hibáját, ez nem jelenti azt, hogy a végső előrejelzéshez való átalakítása után a hibák továbbra is a legjobbak lesznek a prémium számára. A prémium előrejelzésével közvetlenül a legjobb eredményt kényszerítjük.,
jósolja meg az opció implikált volatilitását, majd tegye vissza a Black-Scholes képletbe. Ennek olvashatóvá kell tennie a prémiumot. A nagy előny itt az, hogy a különböző célváltozók ugyanabban az értéktartományban vannak, még akkor is, ha az opció prémiuma nagyságrendileg eltérő. Egyéb Black-Scholes változók lehet használni, hogy megpróbálja megjósolni opciók díjak, de hallgatólagos volatilitás a legnépszerűbb közülük.8
becsülje meg az opciós díj és a kötési ár közötti arányt., Ha az alapul szolgáló opciók ára úgy viselkedik, mint a geometriai Brown-mozgások, akkor az ingatlan felhasználható a bemeneti paraméterek számának csökkentésére. Ebben az esetben a kutató az alapul szolgáló ár és a sztrájkár közötti arányt az egyik bemeneti paraméterként használná, ahelyett, hogy az alapul szolgáló és a sztrájkárokat külön használná. Ez a megoldás nagyon hasznos lehet, ha az adathalmaz mérete kicsi, és Ön jobban ki van téve a túltöltési problémáknak.,
bár nincs egyetértés abban, hogy melyik függvénykutatóknak meg kell próbálniuk megjósolni, van egy második vita arról, hogy az adatkészletet különféle tulajdonságok alapján részhalmazokra kell-e osztani. Malliaris és Salchenberger szerint a pénzen belüli és a pénzen kívüli opciókat különböző adatkészletekre kell felosztani. Gyakorlati szempontból ez a megközelítés hasznos lehet, mivel az opciós díjak nagysága nagyon eltérő lehet a két csoportban., Sovan Mitra, a Liverpooli Egyetem matematikai tudományok tanszékének adjunktusa szerint, ha az adatok túl sok részre oszlanak, megnő a túlcsordulás esélye, és csökken a modell pontossága a mintán kívüli eredményeken.9
a világ hosszú utat tett meg azóta, hogy Black, Scholes és Merton 1973-ban közzétették az opciós árakról szóló szemináriumukat. A számítási teljesítmény és az adatok exponenciális növekedése, különösen az elmúlt évtizedben, lehetővé tette a kutatók számára, hogy gépi tanulási technikákat alkalmazzanak a 70-es és 80-as években előre nem látható pontossággal előállított származékok árára., Akkoriban az opciók árazását elsősorban a sztochasztikus kalkulus alapjain alapuló elméleti modellek vezérelték. Ebben a cikkben egy alternatív módszert kínálunk, amely gépi tanulást, különösen neurális hálózatokat használ az adatvezérelt megközelítéssel rendelkező áropciókhoz. Úgy gondoljuk, hogy ez a megközelítés értékes kiegészítője lehet a pénzügyi mérnökök eszközkészletének, és számos alkalmazási területen helyettesítheti a hagyományos módszereket.
Mezőfi Balázs a WorldQuant Kft. kvantitatív kutatója, a Budapesti Corvinus Egyetem biztosításmatematikai és pénzügyi matematika szakán szerzett diplomát.,
Szabó Kristóf a WorldQuant Kft. vezető kvantitatív kutatója, a budapesti Eötvös Loránd Tudományegyetem aktuáriusi és pénzügyi matematika szakán szerzett diplomát.
ENDNOTES
1. Stephen M. Schaefer. “Robert Merton, Myron Scholes és a derivatívák árazásának fejlesztése.”Scandinavian Journal of Economics 100, no. 2 (1998): 425-445.
2. George Cybenko. “Közelítés egy sigmoid függvény Szuperpozícióival.”Controll, Signals and Systems 2, no. 4 (1989): 303-314.
3. Kurt Hornik, Maxwell B. Stinchcombe és Halbert White., “A Többrétegű Előremeneti Hálózatok Univerzális Közelítők.”Neurális hálózatok 2, no. 5 (1989): 359-366.
4. Frank Rosenblatt. “The Perceptron: a probabilistic Model for Information Storage and Organization in the Brain.”Psychological Review 65, no. 6 (1958): 386-408.
6. Mary Malliaris és Linda M. Salchenberger. “Neurális hálózati modell az opciós árak becsléséhez.”Applied Intelligence 3, no. 3 (1993): 193-206.
7. James M. Hutchinson, Andrew W. Lo és Tomaso Poggio. “A származtatott értékpapírok tanulási hálózatokon keresztüli árazásának és fedezeti ügyleteinek Nemparametrikus megközelítése.,”Journal of Finance 49, no. 3 (1994): 851-889.
8. Mary Malliaris és Linda Salchenberger. “Neurális hálózatok használata az S&p 100 implicit volatilitás előrejelzéséhez.”Neurocomputing 10, no. 2 (1996): 183-195.
9. Szován K. Mitra. “Egy opció árképzési modell, amely egyesíti a neurális hálózati megközelítés, Fekete Scholes Formula.”Global Journal of Computer Science and Technology 12, no. 4 (2012).
A Gondolatvezetési cikkeket a WorldQuant, LLC készítette és tulajdona, és csak tájékoztató és oktatási célokra bocsátják rendelkezésre., Ez a cikk nem vonatkozik semmilyen konkrét befektetési stratégiára vagy termékre, sem ez a cikk nem minősül befektetési tanácsadásnak vagy eladási ajánlatnak, vagy bármilyen értékpapír vagy más pénzügyi termék megvásárlására irányuló ajánlat felkérésének. Ezenkívül a cikkben szereplő információk nem célja a befektetés, a számvitel, a jogi vagy az adóügyi tanácsadás nyújtása, amelyre nem lehet hivatkozni. A WorldQuant semmilyen kifejezett vagy hallgatólagos garanciát vagy nyilatkozatot nem vállal az információk pontosságára vagy megfelelőségére vonatkozóan, és Ön minden kockázatot vállal az ilyen információkra való támaszkodás során., Az itt kifejtett nézetek kizárólag az e cikk dátumától számított WorldQuant nézetei, amelyek előzetes értesítés nélkül változhatnak. Nem biztosítható, hogy az ebben a cikkben leírt célok, feltételezések, elvárások és/vagy célok megvalósulnak, vagy hogy a cikkben leírt tevékenységek egyáltalán vagy ugyanúgy folytatódnak, vagy folytatódnak, mint az e cikk által lefedett időszakban. A WorldQuant nem vállalja, hogy tanácsot ad az itt kifejtett nézetek bármilyen változásáról., A WorldQuant és leányvállalatai számos Értékpapír-kereskedelmi és befektetési tevékenységben vesznek részt, és jelentős pénzügyi érdekük lehet a cikkekben tárgyalt egy vagy több értékpapír vagy pénzügyi termék iránt.