i 1973 offentliggjorde Fischer Black, Myron Scholes og Robert Merton deres nu kendte optionsprisformel, som ville have en betydelig indflydelse på udviklingen af kvantitativ finansiering.,1 i deres model (typisk kendt som Black-Scholes) afhænger værdien af en option af en akties fremtidige volatilitet snarere end af dets forventede afkast. Deres prisformel var en teoridrevet model baseret på antagelsen om, at aktiekurserne følger geometrisk bro .nian-bevægelse., I betragtning af, at Chicago Board Options Exchange (CBOE) blev åbnet i 1973, den diskette, der var blevet opfundet blot to år tidligere, og IBM var stadig otte år væk fra at lancere sin første PC (der var to diskette-drev), ved hjælp af en data-drevet tilgang, som er baseret på virkelige valg priserne ville have været ganske kompliceret på tidspunktet for Black, Scholes og Merton. Selvom deres løsning er bemærkelsesværdig, er den ikke i stand til at gengive nogle empiriske fund., En af de største mangler ved Black-Scholes er uoverensstemmelsen mellem modelvolatiliteten i den underliggende mulighed og den observerede volatilitet fra markedet (den såkaldte implicitte volatilitetsoverflade).
i dag investorer har et valg. Vi har mere beregningskraft i vores mobiltelefoner end avancerede computere havde i 1970 ‘ erne, og de tilgængelige data vokser eksponentielt. Som et resultat kan vi bruge en anden, datadrevet tilgang til prissætning af optioner. I denne artikel præsenterer vi en løsning til optioner prissætning baseret på en empirisk metode ved hjælp af neurale netværk., Den største fordel ved maskinindlæringsmetoder såsom neurale netværk sammenlignet med modeldrevne tilgange er, at de er i stand til at gengive de fleste af de empiriske egenskaber ved optionspriser.
Introduktion til Valg Prisfastsættelse
Med den finansielle derivater kendt som muligheder, de køber betaler en pris til sælger for at købe en ret til at købe eller sælge et finansielt instrument til en bestemt pris på et bestemt tidspunkt i fremtiden. Optioner kan være nyttige værktøjer til mange økonomiske applikationer, herunder risikostyring, handel og ledelseskompensation., Ikke overraskende, at skabe pålidelige prismodeller for optioner har været et aktivt forskningsområde i den akademiske verden.
Et af de vigtigste resultater af denne forskning er Black-Scholes formel, som giver prisen på en option baseret på multiple input parametre, såsom prisen på den underliggende aktie, markedets risikofrie rente, den tid, indtil den indstilling, udløbsdato, strike-prisen af kontrakten og volatiliteten i de underliggende aktier., Før Black-Scholes anvendte praktikere prismodeller baseret på put-call-pariteten eller en antaget risikopræmie svarende til værdiansættelsen af investeringsprojekter. I corporate finance er en af de mest anvendte modeller til værdiansættelse af virksomheder diskonteret cash Flo.model (DCF), der beregner nutidsværdien af et selskab som summen af dets diskonterede fremtidige pengestrømme. Diskonteringsrenten er baseret på den opfattede risiko for at investere kapital i det pågældende selskab., Den revolutionerende id.bag Black-Scholes var, at det ikke er nødvendigt at bruge risikopræmien, når man vurderer en option, da aktiekursen allerede indeholder disse oplysninger. I 1997 tildelte Det Kongelige Svenske Videnskabsakademi Nobelprisen i økonomiske videnskaber til Merton og Scholes for deres banebrydende arbejde. (Sort delte ikke i prisen. Han døde i 1995, og Nobelpriserne tildeles ikke posthumt.,)
Hvis alle optionspriser er tilgængelige på markedet, kan Black-Scholes bruges til at beregne den såkaldte implicitte volatilitet baseret på optionspriser, da alle de andre variabler i formlen er kendt. Baseret på Black-Scholes bør den implicitte volatilitet være den samme for alle strejkepriser på optionen, men i praksis fandt forskerne, at den implicitte volatilitet for optioner ikke er konstant. I stedet er det skævt eller smilformet.
forskere søger aktivt modeller, der er i stand til at prissætte muligheder på en måde, der kan gengive den empirisk observerede implied volatilitetsoverflade., En populær løsning er Heston-modellen, hvor volatiliteten af det underliggende aktiv bestemmes ved hjælp af en anden stokastisk proces. Den model, der er opkaldt efter University of Maryland matematiker Steven Heston, er i stand til at gengive mange empiriske resultater — herunder implicitte volatilitet, men ikke alle af dem, så de finansielle ingeniører har brugt forskellige avancerede underliggende processer til at komme op med løsninger til at generere empiriske resultater., Som de beregningsmodeller udviklet sig, de følgende vanskeligheder:
• Den underliggende pris dynamics fik mere kompleks matematisk og blev mere generelt — for eksempel ved hjælp af Lévy processer i stedet for Brownske bevægelser.
• prissætningen af optioner blev mere ressourceintensiv. Selvom Black-Scholes-modellen har en lukket formløsning til prissætning af europæiske opkaldsmuligheder, bruger folk i dag normalt mere beregningsmæssigt intensive Monte Carlo-metoder til at prissætte dem.
• det kræver dybere teknisk viden at forstå og bruge prismodellerne.,
anvendelse af maskinindlæringsmetoder til optioner prissætning adresserer de fleste af disse problemer. Der er forskellige algoritmer, der er i stand til at tilnærme en funktion baseret på funktionens input og output, hvis antallet af datapunkter er tilstrækkeligt stort. Hvis vi ser muligheden som en funktion mellem de kontraherede vilkår (input) og præmien for optionen (output), kan vi simpelthen ignorere alle de økonomiske spørgsmål i forbindelse med optioner eller aktiemarkeder., Senere vil vi se, hvordan tilføjelse af noget økonomisk viden tilbage i modellen kan hjælpe med at forbedre nøjagtigheden af resultaterne, men på det grundlæggende niveau er der ikke behov for finansieringsrelateret information.en af disse tilnærmelsesteknikker bruger kunstige neurale netværk, som har en række nyttige egenskaber., For eksempel, nogle medlemmer af kunstige neurale netværk er universelle approximators — hvilket betyder, at hvis prøven er stor nok, og den algoritme, der er kompleks nok, så den funktion, at netværket lært, vil være tæt nok til den eneste ene for alle praktiske formål, som viste af George Cybenko (1989)2 og Kurt Hornik, Maxwell B. Stinchcombe og Halbert Hvid (1989).3 kunstige neurale netværk er velegnede til store databaser, fordi beregningerne let kan udføres på flere computere parallelt., En af deres mest interessante egenskaber er dualitet i beregningshastigheden: selvom træningen kan være ret tidskrævende, når processen er færdig, og tilnærmelsen af funktionen er klar, er forudsigelsen ekstremt hurtig.
neurale netværk
det væsentlige koncept for neurale netværk er at modellere den menneskelige hjernes adfærd og skabe en matematisk formulering af den hjerne for at udtrække information fra inputdataene., Den grundlæggende enhed af et neuralt netværk er en perceptron, som efterligner adfærd af en neuron og blev opfundet af den Amerikanske psykolog Frank Rosenblatt i 1957.4 Men potentialet af neurale netværk blev ikke udløst indtil 1986, da David Rumelhart, Geoffrey Hinton og Ronald Williams offentliggjort deres indflydelsesrige papir på backpropagation algoritme, som viste en måde at træne kunstige neuroner.5 Efter denne opdagelse blev mange typer neurale netværk bygget, herunder multilayer perceptron (MLP), som er fokus for denne artikel.,
MLP består af lag af perceptroner, som hver har et input: summen af output fra perceptronerne fra det foregående lag multipliceret med deres vægte; det kan være forskelligt for hver perceptron. Perceptronerne bruger en ikke-lineær aktiveringsfunktion (som den S-formede sigmoid-funktion) til at omdanne indgangssignalerne til udgangssignaler og sende disse signaler til det næste lag. Det første lag (inputlaget) er unikt; perceptroner i dette lag har kun et output, som er inputdataene., Det sidste lag (outputlaget) er unikt i den forstand, at det i regressionsproblemer normalt består af en enkelt perceptron. Eventuelle lag mellem disse to lag kaldes normalt skjulte lag. For en MLP med et skjult lag er visualiseringen som følger i Figur 1.,
Figur 1 kan skrives matematisk mellem det skjulte lag og input lag som:
og mellem det endelige output og de skjulte lag som:
hvor f1 og f2 er aktivering funktioner, α og β indeholder vægt matricer mellem lagene, og ε er et fejlled med 0 betyder.,
det første trin i beregningen er at initialisere vægtmatrieserne tilfældigt; denne proces vil blive brugt til at omdanne inputvariablerne til den forventede output. Ved hjælp af dette output kan værdien af tabsfunktionen beregnes ved at sammenligne de reelle og de forventede resultater ved hjælp af træningsdataene. Backpropagationsmetoden kan bruges til at beregne modelens gradienter, som derefter kan bruges til at opdatere vægtmatrieserne., Efter at vægtene er blevet opdateret, skal tabsfunktionen have en mindre værdi, hvilket indikerer, at prognosefejlen på træningsdataene er faldet. De foregående trin skal gentages, indtil modellen konvergerer, og prognosefejlen er acceptabel.
selvom den foregående proces kan virke kompliceret, er der mange off-the-shelf programmeringspakker, der giver brugerne mulighed for at koncentrere sig om problemet på højt niveau i stedet for implementeringsdetaljerne., Brugerens ansvar er at konvertere input-og outputdataene til den korrekte form, indstille parametrene for det neurale netværk og starte læringsfasen. Typisk er de vigtigste parametre antallet af neuroner i hvert lag og antallet af lag.
Prisfastsættelse af Optioner med Multilags Perceptrons
, Som vist tidligere, den klassiske muligheder beregningsmodeller, der er bygget på en underliggende proces, der er en gengivelse af den empiriske forhold blandt indstilling data (strike-pris, tid til udløb, type), underliggende data, og præmien for den mulighed, som er observerbare i markedet., Machine learning metoder ikke antage noget som helst om den underliggende proces, de forsøger at estimere en funktion mellem input data og præmier, minimere en given pris funktion (normalt mean squared error mellem model pris og den observerede pris på markedet) for at nå en god out-of-sample præstation.
Der er en udviklende litteratur, der anvender andre datavidenskabsmetoder, såsom supportvektorregression eller træensembler, men neurale netværk som flerlags perceptroner passer generelt godt til prissætning af optioner., I de fleste tilfælde er option premium en monoton funktion af parametrene, så kun et skjult lag er nødvendigt for at levere høj præcision, og modellen er sværere at overtrain.
ved Hjælp af machine learning til prisfastsættelse af optioner er ikke et nyt begreb, og to af de relevante tidlige værker blev skabt i begyndelsen af 1990’erne til pris indeks optioner på S&P 100 og S&P 500.6,7 Disse metoder praktisk i dag takket være tilgængeligheden af flere software-pakker for neurale netværk., Selvom prisoptioner blev lettere, er det stadig lidt mere kompliceret end at indlæse inputdataene (optionskarakteristika, data for det underliggende aktiv) og måldata (præmier) og trykke på “enter.”Der er stadig et problem: at designe arkitekturen i det neurale netværk og undgå overfiskeri af modellen.
de fleste maskinindlæringsmetoder er baseret på en iterativ proces for at finde de relevante parametre på en måde, der minimerer forskellen mellem resultaterne af modellen og målet., De starter normalt med at lære meningsfulde forhold, men efter et stykke tid minimerer de kun den prøveafhængige fejl og reducerer modelens generelle ydeevne på usete data uden for prøven. Der er mange måder at håndtere dette problem på; en af de populære er tidligt at stoppe. Denne metode adskiller de originale træningsdata i Trænings-og valideringsprøver, idet modellen kun instrueres om træningsdataene og evalueres på valideringsprøven., I begyndelsen af læreprocessen, fejl i validering prøve falder synkront med fejl af uddannelsen prøven, men senere uddannelse og godskrivning af prøver begynder at blive; fejlen falder kun i uddannelsen prøven, og stigninger i de validering prøve. Dette fænomen signalerer overfitting af parametrene, og processen skal stoppes i slutningen af den synkront faldende fase.,
modeller, der har flere parametre, kan lettere overfyldes, så antallet af perceptroner og lag skal afbalanceres mellem at lære de vigtige funktioner og miste en vis præcision på grund af overfitting. Læringsfrekvensen bestemmer, hvor meget der skal ændres parametrene i hver iteration; det er en vigtig indstilling og skal indstilles manuelt. Nogle gange afgøres disse metaparametre baseret på valideringsfejl; at vælge dem er mere kunst end videnskab., At vælge de “bedste” parametre kan give bedre resultater, men nøjagtigheden opnået under finjustering mindskes normalt, så den uddannede model er god nok til at bruge efter blot et par forsøg.
forbedring af ydeevne
ovennævnte metoder kan generelt bruges til forbedring af neurale netværksmodeller. I mange tilfælde kan tilføjelse af problemspecifik viden (i dette tilfælde økonomisk viden) forbedre modelens ydeevne., På dette tidspunkt har MLP allerede lært en god tilnærmelse af indstillingerne prisformel, men præcisionen bestemmes af prøvestørrelsen (som normalt er fast) og inputvariablerne. Herfra er der tre måder at forbedre ydeevnen yderligere:
1. Tilføj flere input variabler, der hjælper modellen til bedre at forstå optioner prissætning formel.
2. Forøg kvaliteten af inputvariablerne ved at filtrere outliers.
3. Transform funktionen på en måde, som det er lettere at tilnærme.
den første tilgang er ret ligetil., Introduktion af en ny variabel i modellen øger dens kompleksitet og gør det lettere at overfitte. Som følge heraf skal hver ny variabel øge modelens forudsigelige kraft for at kompensere for det øgede antal parametre. Og fordi optionspriser er afhængige af den forventede volatilitet i den underliggende sikkerhed i fremtiden, gør enhver variabel, der fungerer som en pro .y for den historiske eller implicitte volatilitet, normalt MLP mere præcis., For at forbedre nøjagtigheden foreslog Loyola University Chicago professorer Mary Malliaris og Linda Salchenberger at tilføje de forsinkede priser på den underliggende sikkerhed og muligheden.
den anden metode er at øge kvaliteten af inputvariablerne. Fordi priserne på mindre flydende indstillinger typisk indeholder mere støj end gøre mere-flydende dem, filtrering af disse muligheder bør forbedre nøjagtigheden af prismodellen., Men hvis vi gerne vil estimere præmien for deep-in-the-money eller out-of-the-money muligheder, kunne denne rengøringsmetode eliminere en betydelig del af det anvendte datasæt. Det er således vigtigt for forskere at vælge filtreringskriterier, der er det optimale valg mellem at droppe outliers og holde den maksimale mængde nyttige oplysninger.
den tredje tilgang – hvor kunst overtager metodologi-rejser et åbent spørgsmål: hvis det neurale netværk kan tilnærme enhver funktion, Hvad skal vi så forudsige?, Dette er det punkt, hvor der er mindst enighed blandt praktikere.
problemet er klart: vi har brug for en endelig udgang fra det neurale netværk, der siger, hvor meget en mulighed med inputparametrene er værd. Det betyder dog ikke, at den endelige pris er det bedste mål at sigte mod. Spørgsmålet er mindre relevant, når vi har en stor prøvestørrelse. Når datasættet er lille, kan valg af den bedste måde at måle en funktion øge præcisionen yderligere., De hyppigst valgte løsninger er følgende:
forudsige præmien for indstillingen direkte, potentielt ved hjælp af de oplysninger, vi har fra matematiske modeller — for eksempel at tilføje implicit volatilitet til inputvariablerne. Selv hvis vi med succes minimerer fejlen for funktionen af præmien, betyder det ikke, at fejlene efter at have omdannet den til den endelige forudsigelse stadig vil være bedst opnåelige for præmien. Ved at forudsige præmien direkte tvinger vi det bedste resultat.,
Forudsig den implicitte volatilitet af indstillingen, og sæt den tilbage i Black-Scholes-formlen. Det skulle gøre præmien læsbar. Den store fordel her er, at den forskellige målvariabel er i samme værdiområde, selvom præmien for indstillingen er forskellig i størrelse. Andre Black-Scholes variabler kan bruges til at forsøge at forudsige optioner præmier, men implicit volatilitet er den mest populære blandt dem.8
anslå forholdet mellem optionspræmien og strike-prisen., Hvis de underliggende optionspriser opfører sig som geometriske bro .nian-bevægelser, kan denne egenskab bruges til at reducere antallet af inputparametre. I dette tilfælde vil forskeren bruge forholdet mellem den underliggende pris og strejkeprisen som en af inputparametrene i stedet for at bruge de underliggende og strejkepriser separat. Denne løsning kan være meget nyttig, hvis størrelsen på datasættet er lille, og du er mere udsat for overfittproblemer., selvom der er uenighed om, hvilken funktion forskere skal forsøge at forudsige, er der en anden debat om, hvorvidt datasættet skal opdeles i undergrupper baseret på forskellige kvaliteter. Malliaris og Salchenberger hævder, at In-The-money og out-of-the-money muligheder bør opdeles i forskellige datasæt. Fra et praktisk synspunkt kan denne tilgang være nyttig, fordi størrelsen af optionspræmierne kan være meget forskellige i de to grupper., Sovan Mitra, en universitetslektor i matematiske videnskaber ved University of Liverpool, har gjort gældende, at hvis dataene er opdelt i for mange dele, øges chancen for overfiskeri, og modellens præcision på resultater uden for prøven reduceres.9
verden er kommet langt siden Black, Scholes og Merton offentliggjort deres skelsættende papirer om optioner prissætning i 1973. Den eksponentielle vækst i beregningskraft og data, især i det sidste årti, har gjort det muligt for forskere at anvende maskinlæringsteknikker til prisderivater med en præcision uforudset i 70 ‘erne og 80 ‘erne., Dengang, optioner prisfastsættelse blev primært drevet af teoretiske modeller baseret på grundlaget for stokastisk calculus. I denne artikel leverer vi en alternativ metode, der bruger maskinlæring, især neurale netværk, til prisindstillinger med en datadrevet tilgang. Vi mener, at denne tilgang kan være en værdifuld tilføjelse til værktøjssættet af finansielle ingeniører og kan erstatte traditionelle metoder inden for mange anvendelsesområder.
Balazs Mezofi er en Kvantitativ Forsker ved WorldQuant, LLC, og har en MSc i Aktuarmæssige og Finansielle Matematik fra Corvinus Universitetet i Budapest.,
Kristof Szabo er en Senior Kvantitative Forsker ved WorldQuant, LLC, og har en MSc i Aktuarmæssige og Finansielle Matematik fra Eötvös Loránd-Universitetet i Budapest.
slutnoter
1. Stephen M. Schaefer. “Robert Merton, Myron Scholes og udviklingen af Derivatives Pricing.”Scandinavian Journal of Economics 100, no. 2 (1998): 425-445.
2. George Cybenko. “Tilnærmelse ved superpositioner af en Sigmoidal funktion.”Matematik af kontrol, signaler og systemer 2, nr. 4 (1989): 303-314 .
3. Kurt Hornik, Maxwell B. Stinchcombe og Halbert Hvid., “Flerlags Feedfor .ard Netværk Er Universelle Appro Approximimatorer.”Neurale netværk 2, no. 5 (1989): 359-366.
4. Frank Rosenblatt. “Perceptronen: en probabilistisk Model til informationslagring og organisering i hjernen.”Psykologisk gennemgang 65, no. 6 (1958): 386-408.
6. Mary Malliaris og Linda M. Salchenberger. “En neuralt netværksmodel til estimering af optionspriser.”Applied Intelligence 3, no. 3 (1993): 193-206 .
7. James M. Hutchinson, Andre and Lo. Lo og Tomaso Poggio. “En ikke-parametrisk tilgang til prisfastsættelse og afdækning af afledte værdipapirer Via læringsnetværk.,”Journal of Finance 49, no. 3 (1994): 851-889 .
8. Mary Malliaris og Linda Salchenberger. “Brug af neurale netværk til at forudsige S&p 100 implicit volatilitet.”Neurocomputing 10, no. 2 (1996): 183-195 .
9. Sovan K. Mitra. “En Option prismodel, der kombinerer neurale netværk tilgang og Black Scholes formel.”Global Journal of Computer Science and Technology 12, nr. 4 (2012).
Thought Leadership artikler er udarbejdet af og tilhører Worlorld .uant, LLC, og stilles kun til rådighed til informations-og uddannelsesmæssige formål., Denne artikel er ikke beregnet til at vedrøre nogen specifik investeringsstrategi eller produkt, og denne artikel udgør heller ikke investeringsrådgivning eller formidler et tilbud om at sælge eller opfordring til et tilbud om at købe værdipapirer eller andre finansielle produkter. Derudover er oplysningerne i en artikel ikke beregnet til at give og bør ikke påberåbes for investering, regnskabsmæssig, juridisk eller skattemæssig rådgivning. Worlorld .uant giver ingen garantier eller repræsentationer, udtrykkelige eller underforståede, med hensyn til nøjagtigheden eller tilstrækkeligheden af oplysninger, og du accepterer alle risici ved at stole på sådanne oplysninger., Synspunkterne heri er udelukkende de af Worlorld .uant fra datoen for denne artikel og kan ændres uden varsel. Der kan ikke gives sikkerhed for, at mål, antagelser, forventninger og/eller mål, der er beskrevet i denne artikel, vil blive realiseret, eller at de aktiviteter, der er beskrevet i artiklen, gjorde eller vil fortsætte overhovedet eller på samme måde som de blev gennemført i den periode, der er omfattet af denne artikel. Worlorld .uant forpligter sig ikke til at rådgive dig om ændringer i de synspunkter, der er udtrykt heri., Worlorld .uant og dets datterselskaber er involveret i en bred vifte af værdipapirhandel og investeringsaktiviteter og kan have en betydelig økonomisk interesse i en eller flere værdipapirer eller finansielle produkter, der diskuteres i artiklerne.